泛函分析习题.doc

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1、习题11.(张燕石淼)设在全体实数上，定义两个二元映射和(2)，证明(1)不是度量空间；(2)是度量空间．2.(范彦勤孙文静)设为度量空间，为严格单调函数，且满足，令，证明为度量空间．3.(武亚静张丹)设为度量空间，证明有．4.(崔伶俐杨冰)设全体实数列组成的集合为，对于及，定义．证明为度量空间．5.设为和组成的维有序数组，例如，对于任意的，定义为和中取值不同的个数，例如在中，，．证明为度量空间．6.(苏艳丁亚男)设为度量空间，且．证明是开集当且仅当为开球的并．7.(张振山赵扬扬)设和是两个度量空间．那么映射是连续映射当且仅当的任意闭子集的原象是中的闭集．8.

2、(王林何超)设与是度量空间的两个Cauchy列．证明是收敛列．9.(李敬华孙良帅)设和是两个度量空间，在上定义度量，其中，为正数．证明是完备空间当且仅当和均是完备空间．10.(李秀峰钱慧敏)设是完备的度量空间，是中的一列稠密的开子集，证明也是中的稠密子集．11.(王胜训闫小艳)设，证明是列紧集当且仅当是有界集．12(冯岩盛谢星星)设为度量空间，且．证明（1）是的开集．（2）是的闭集，其中．13.(李小伟周新慧)设为定义在上的所有有界函数，若，定义，求证为的度量及为的闭集．14.(陈明徕孙潇洋)设为度量空间，且．若为紧集，则存在使得．其中．15.(张秀芳张银利)

3、设为度量空间，令，证明为完备度量空间当且仅当为完备度量空间．16.(常铮岳晓鹏)设，定义，证明为上的度量，不为完备度量空间，表示正整数集．17.(王文生李科莹)设为度量空间，且，定义．证明有．18.设为完备的度量空间，点列，如果，存在的一个基本列，使得．证明收敛．19.设为为紧的度量空间，为的一列非空闭子集，且证明．20.设为完备的度量空间，映射设，为两个度量空间，为单射，证明是连续映射的充要条件是把中的任一紧集映成中的紧集．21.设均为度量空间，为连续映射，若是的稠密子集，则是的稠密子集．22.设都是度量空间中的紧集，则必存在，使得，其中称为与的距离．23.

4、设是度量空间中的两个子集，其中是紧集，是闭集，若则必存在．24.设为完备的度量空间，映射满足：且有若知有不动点，那么此不动点是惟一的．25.设是中的有界闭子集，且，映射满足，证明在中存在惟一的不动点．26.证明有界数列空间是完备的度量空间．(距离的定义：)27.证明在维欧氏空间中点列收敛等价于按坐标收敛．即如果，其中，及，那么（等价于．