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1、1、设双曲线=1(a>0,b>0)的右顶点为A，P是双曲线上异于顶点的一个动点，从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP分别交于Q和R两点.(1)证明：无论P点在什么位置，总有
2、
3、2=
4、·
5、(O为坐标原点)；(2)若以OP为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范围；解：(1)设OP：y=kx,又条件可设AR:y=(x–a),解得：=(,),同理可得=(,),∴
6、·
7、=
8、+
9、=.设=(m,n),则由双曲线方程与OP方程联立解得:m2=,n2=,∴
10、
11、2=:m2+n2=+=,∵点P在双曲线上，∴b2–a2k2>0.∴无
12、论P点在什么位置，总有
13、
14、2=
15、·
16、.（2）由条件得：=4ab,即k2=>0,∴4b>a,得e>2、已知以向量v=(1,)为方向向量的直线l过点(0,)，抛物线C：(p>0)的顶点关于直线l的对称点在该抛物线上．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）设A、B是抛物线C上两个动点，过A作平行于x轴的直线m，直线OB与直线m交于点N，若(O为原点，A、B异于原点)，试求点N的轨迹方程．解：（Ⅰ）由题意可得直线l：①过原点垂直于l的直线方程为②解①②得．∵抛物线的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上．∴，∴抛物线C的方程为．（Ⅱ）设，，，由，得．又，．解得③直
17、线ON：，即④由③、④及得，点N的轨迹方程为．3、已知双曲线的一条渐近线方程为，两条准线的距离为l.（1）求双曲线的方程；（2）直线l过坐标原点O且和双曲线交于两点M、N，点P为双曲线上异于M、N的一点，且直线PM，PN的斜率均存在，求kPM·kPN的值.（1）解：依题意有：可得双曲线方程为（2）解：设所以4、已知点分别是射线，上的动点，为坐标原点，且的面积为定值2．（I）求线段中点的轨迹的方程；（II）过点作直线，与曲线交于不同的两点，与射线分别交于点，若点恰为线段的两个三等分点，求此时直线的方程．解：（I）由题可设，，，其中.则1分∵的面积为定值
18、2，∴.2分，消去，得：．4分由于，∴，所以点的轨迹方程为（x＞0）．5分（II）依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为．由消去得：，6分设点、、、的横坐标分别是、、、，∴由得8分解之得：．∴.9分由消去得：，由消去得：，∴.10分由于为的三等分点，∴.11分解之得.5、设双曲线C：的左、右顶点分别为A1、A2，垂直于x轴的直线m与双曲线C交于不同的两点P、Q。（Ⅰ）若直线m与x轴正半轴的交点为T，且，求点T的坐标；（Ⅱ）求直线A1P与直线A2Q的交点M的轨迹E的方程；（Ⅲ）过点F（1，0）作直线l与（Ⅱ）中的轨迹E交于不同的两点A、B，设，若（T为
19、（Ⅰ）中的点）的取值范围。解：（Ⅰ）由题，得，设则由…………①又在双曲线上，则…………②联立①、②，解得由题意，∴点T的坐标为（2，0）…………3分（Ⅱ）设直线A1P与直线A2Q的交点M的坐标为（x，y）由A1、P、M三点共线，得…………③…………1分由A2、Q、M三点共线，得…………④…………1分联立③、④，解得…………1分∵在双曲线上，∴∴轨迹E的方程为…………1分（Ⅲ）容易验证直线l的斜率不为0。故可设直线l的方程为中，得设则由根与系数的关系，得……⑤……⑥…………2分∵∴有将⑤式平方除以⑥式，得…………1分由…………1分∵又故令∴，即∴而，∴
20、∴6、已知中心在原点，左、右顶点A1、A2在x轴上，离心率为的双曲线C经过点P（6,6），动直线l经过△A1PA2的重心G与双曲线C交于不同两点M、N，Q为线段MN的中点。（1）求双曲线C的标准方程（2）当直线l的斜率为何值时，。本小题考查双曲线标准议程中各量之间关系，以及直线与双曲线的位置关系。解（1）设双曲线C的方程为①②②又P（6,6）在双曲线C上，由①、②解得所以双曲线C的方程为。（2）由双曲线C的方程可得所以△A1PA2的重点G（2,2）设直线l的方程为代入C的方程，整理得③③②整理得④③②解得由③，可得⑤③②解得由④、⑤，得7、已知，点满
21、足，记点的轨迹为.（Ⅰ）求轨迹的方程；（Ⅱ）若直线过点且与轨迹交于、两点.（i）设点，问：是否存在实数，使得直线绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.（ii）过、作直线的垂线、，垂足分别为、，记，求的取值范围.解：（Ⅰ）由知，点的轨迹是以、为焦点的双曲线右支，由，∴，故轨迹E的方程为…（3分）（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设直线l方程为，与双曲线方程联立消得，设、，∴，解得………………………………………（5分）（i）∵……………………（7分）假设存在实数，使得，故得对任意的恒成立，∴，解得∴当时，.当直线l的斜率不存在
22、时，由及知结论也成立，综上，存在，使得.…………………………………………（8分）（ii）∵，∴直线是双曲线的
