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1、目录Unit11Unit23Unit36Unit410Unit512Unit616UNIT720Unit822UNIT925在此我们感谢杨运涛的付出！Unit1罗素悖论的提出是基于这样的一个事例：设想有这样一群理发师，他们只给不给自己理发的人理发。假设其中一个理发师符合上述的条件，不给自己理发；然而按照要求，他必须要给自己理发。但是在这个集合中没有人会给自己理发。（如果这样的话，这个理发师必定是给别人理发还要给自己理发）1901年，伯特兰·罗素悖论的发现打击了他其中的一个数学家同事。在19世纪后期，弗雷格尝试发展一个基本原理以便数学上能使用符号逻辑。他确立了形式表达式

2、（如：x=2）和数学特性（如偶数）之间的联系。按照弗雷格理论的发展，我们能自由的用一个特性去定义更多更深远的特性。1903年，发表在《数学原理》上的罗素悖论从根本上揭示了弗雷格这种集合系统的局限性。就现在而言，这种类型的集合系统能很好的用俗称集的结构式来描述。例如，我们可以用x代表整数，通过n来表示并且n大于3小于7，来表示4，5,6这样一个集合。这种集合的书写形势就是：x={n：n是整数，3

3、={a：a不再a中}导致一个矛盾，就像对一群理发师的描述一样。x它本身是在x的集合中吗？否定的答案导致了矛盾的出现。当罗素发现了悖论，弗雷格立即就发现悖论对他的理论有致命的打击。尽管这样，他还不能解决这个问题,并且上世纪有很多的尝试，去解决这个问题（但没有成功）。罗素自己对这个悖论的回答促进了类型理论的形成。他解释说，悖论的问题在于我们混淆了数集和数集的集合。所以，罗素介绍了对象的分级系统：数、数集、数集的集合等等。这个系统为形式化数学的形成奠定了基础，至今它还应用于哲学研究和计算机科学分支。策梅洛对于罗素悖论的解决方法用新的公理：对于任意公式A（x）和任意集合b，都

4、会有一个集合满足y={x：x既在b中又满足A（x）}取代了以前的公理：对于任意公式A（x），都会有一个集合满足y={x：x满足A（x）}。究竟是什么样的努力使数学逻辑基础得以发展？现在数学家认识到这个领域可以用所谓的策梅洛-弗兰克尔集合论来定义。形式化的语言包含符号，例如e表示“其中一个数”，=表示等于，□代表集合中没有任何元素。那么可以写下一个公式B（x）：如果如果yex，而y是空4集。在集的结构式中我们可以这样书写：y={x：x=□}，或者更简单y={□}。罗素悖论就成这样：y={x：x不在x中}，那么y是否在y中!Unit2暗能量是用来命名一种未能给出解释的,与

5、万有引力的作用相反，以一种极快的速度将各个星系拉开的力量。暗能量与反重力有些相似。万有引力在局部的水平上把事物聚集到一起，然而，暗能量以一种更宏大的规模把事物拉开。它的存在并未被证明，但是暗能量是很多科学家在解释宇宙正在不断加速膨胀时的这一令人费解的观察时的最佳猜想。专家始终还是不知道是什么在驱动这种力量，但是对于想更多的了解暗能量的这种需求始终是宇宙学家的首要任务。暗能量如何被发现的故事是科学领域由令人惊讶的预言而演变而来的一个经典案例。在20世纪90年代中叶，天文学家开始测算宇宙膨胀的速度。因为万有引力使质量集中，大多数的专家希望发现万有引力能够减慢宇宙气球般膨胀

6、的速度，或者停留在大约5相同的速率上。“这个数据并没有显示出我们所期待的结果。很多人发出了紧张的笑声”，堪培拉的澳洲国立大学的BrianSchmidt说——他独自领导了一个小组在约翰·霍普金斯大学的天体物理学家AdamRiess的帮助下于1998年发现了暗能量。这些证据是建立在对明亮的正在爆炸的恒星——被称作超新星——常被天文学家用于追踪距离的标杆——的测量的基础上的。通过往更深层次的观察，科学家能够回顾从前，因为这些发自超新星的光要数十亿年才能被肉眼看到。科学家观察了处于不同距离的很多超新星去确定它们到底正在以多快的速度远离我们。他们测量出观察对象的红移，或者说是由

7、于多普勒效应导致它们发出的光发生的改变，多普勒效应是当物体靠近我们或者远离我们运动时发生波的压缩或膨胀所产生的一种效应。一种类比是救护车的汽笛声会改变音高——当它朝你行驶，然后通过你身边接着朝另一个方向去了的时候——他的声波首先是压缩的，接着伸长这些测量给了天文学家一个关于宇宙在不同历史点的膨胀速度的图景。研究人员还发现宇宙如今正在以前所未有的速度在膨6胀。“一开始我们不情愿相信我们的结果，”加州大学伯克利分校的劳伦斯伯克利实验室的天体物理学家SaulPerlmutter说，他领导的一个竞争性的小组发现了和Schmidt以及Riess相同的结果。“但