10信号与系统教案第3章

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1、第三章连续系统的频域分析3.1信号分解为正交函数一、矢量正交与正交分解时域分析，以冲激函数为基本信号，任意输入信号可分解为一系列冲激函数；而yf(t)=h(t)*f(t)。本章将以正弦信号和虚指数信号ejωt为基本信号，任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和。这里用于系统分析的独立变量是频率。故称为频域分析。矢量Vx=(vx1,vx2,vx3)与Vy=(vy1,vy2,vy3)正交的定义：其内积为0。即3.2傅里叶级数3.2傅里叶级数一、傅里叶级数的三角形式设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，它

2、可分解为如下三角级数——称为f(t)的傅里叶级数系数an,bn称为傅里叶系数可见，an是n的偶函数，bn是n的奇函数。3.2傅里叶级数式中，A0=a0上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。其中，A0/2为直流分量；A1cos(t+1)称为基波或一次谐波，它的角频率与原周期信号相同；A2cos(2t+2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍；一般而言，Ancos(nt+n)称为n次谐波。可见An是n的偶函数，n是n的奇函数。an=Ancosn，bn=–Ansinn，n=1,2,…将上式同频率项合并，可写为3.2傅里叶级数二、波形的对称性与谐波特性1.f(

3、t)为偶函数——对称纵坐标bn=0，展开为余弦级数。2.f(t)为奇函数——对称于原点an=0，展开为正弦级数。实际上，任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数两部分，即f(t)=fod(t)+fev(t)由于f(-t)=fod(-t)+fev(-t)=-fod(t)+fev(t)所以3.2傅里叶级数3.f(t)为奇谐函数——f(t)=–f(t±T/2)此时其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶次谐波分量即a0=a2=…=b2=b4=…=0三、傅里叶级数的指数形式三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。可从三角形式推出：利用co

4、sx=(ejx+e–jx)/23.2傅里叶级数n=0,±1,±2，…表明：任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。F0=A0/2为直流分量。3.2傅里叶级数四、周期信号的功率——Parseval等式直流和n次谐波分量在1电阻上消耗的平均功率之和。n≥0时，

5、Fn

6、=An/2。周期信号一般是功率信号，其平均功率为3.3周期信号的频谱3.3周期信号的频谱及特点一、信号频谱的概念从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即将An~ω和n~ω的关

7、系分别画在以ω为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频谱图。因为n≥0，所以称这种频谱为单边谱。也可画

8、Fn

9、~ω和n~ω的关系，称为双边谱。若Fn为实数，也可直接画Fn。3.3周期信号的频谱例：周期信号f(t)=试求该周期信号的基波周期T，基波角频率Ω，画出它的单边频谱图，并求f(t)的平均功率。解首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即显然1是该信号的直流分量。的周期T1=8的周期T2=6所以f(t)的周期T=24，基波角频率Ω=2π/T=π/12根据帕斯瓦尔等式，其功率为P=3.3周期信号的频谱是f(t)的[π/4]/[π/12]=3次谐波分量；是f(t

10、)的[π/3]/[π/12]=4次谐波分量；画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图3.3周期信号的频谱二、周期信号频谱的特点举例：有一幅度为1，脉冲宽度为的周期矩形脉冲，其周期为T，如图所示。求频谱。令Sa(x)=sin(x)/x(取样函数）3.3周期信号的频谱,n=0,±1，±2，…Fn为实数，可直接画成一个频谱图。设T=4τ画图。零点为所以，m为整数。特点：(1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性。谱线位置是基频Ω的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。3.3周期信号的频谱谱线的结构与波形参数的关系：(a)T一定，变小，此时（谱线间隔）不变。两零点之间的谱线

11、数目：1/=（2/）/(2/T)=T/增多。(b)一定，T增大，间隔减小，频谱变密。幅度减小。如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号），那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过渡到非周期信号的连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。3.4傅里叶变换3.4非周期信号的频谱—傅里叶变换一、傅里叶变换非周期信号f(t)可看成是周期T→∞时的周期信号。前已指出当周期T趋近于无穷大时，谱线间隔趋近于无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小，不过，这些无穷小量