12.求曲线的轨迹方程

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1、求曲线方程求曲线方程的基本步骤:1.建立坐标系,设动点坐标;2.写出动点满足的等量关系;3.用坐标表示等量关系;4.化简方程;5.证明或检验所得的方程是否符合题意,作答.建立坐标系的一般规律:若条件中有1.两条垂直的直线,2.对称图形,3.已知长度的线段,以该二直线为坐标轴.以对称图形的对称轴为坐标轴.以线段所在直线为对称轴,端点或中点为原点.例题分析例题1:已知点A(-1,0),B(2,0),动点M满足2∠MAB=∠MBA,求点M的轨迹方程.归纳:本题中M点的位置有三种可能,必须分类求解,才能避免失根.另外,在求轨迹方

2、程的问题中,如果化简方程过程是同解变形.则由此所得的最简方程就是所求曲线的方程;如果化简过程不是同解变形,所求得的方程就不一定是所求曲线的方程.此时,应该通过限制x,y的取值范围来去掉增根,使得化简前后的方程的同解.练习11.到F(2,0)和Y轴的距离相等的动点的轨迹方程是:__________________2.三角形ABC中,若B(-2,0),C(2,0),中线AB的长为3,则A点的轨迹方程是:______y2=4(x-1)x2+y2=9(y≠0)解答:1.到F(2,0)和Y轴的距离相等的动点的轨迹方程是:____

3、______________设动点为(x,y),则由平方,化简得:y2=4(x-1)解答:2.三角形ABC中,若B(-2,0),C(2,0),中线AD的长为3,则A点的轨迹方程是:______设A(x,y),则D(0,0),所以即x2+y2=9(y≠0)例题2:三角ABC中,a>c>b,且c=(a+b)/2,若顶点A(-1,0),B(1,0),求顶点C的轨迹方程.例题分析归纳:本题具有隐含条件:x<0,y≠0.解题中容易漏掉.为此应注意以下几点:①防止忽略动点应满足的某些隐含条件;②防止方程的不同解变形引起的增根或减根

4、;③图形可以有不同的位置,因分类讨论;④字母系数可取不同值,一定要讨论.练习21.已知定点A(0,-1),动点P在曲线y=2x2+1上移动,则线段AP的中点的轨迹方程是:_______________.2.已知三角形三顶点坐标为A(-3,0),B(3,0),C(0,2),则三角形的AB边中线的方程是:_____________已知M(1,0),N(-1,0),若kpmkpn=-1,则动点p的轨迹方程为:______________y=4x2x=0(0≤y≤2)x2+y2=1(x≠±1)解答:1.已知定点A(0,-1),

5、动点P在曲线y=2x2+1上移动,则线段AP的中点的轨迹方程是:____设中点Q(x,y),P(x0,y0),则x0=2x,y0=2y+1,代入y0=2x02+1得:y=4x2小结正确地求曲线得轨迹方程,一要熟练的掌握求曲线方程的基本步骤,二要记住解题的4条注意事项,对自己的解得的结果作检验.求圆锥曲线方程的常用方法轨迹法定义法待定系数法练习1练习2建系设点写集合列方程化简证明静例1动点P（x，y）到定点A（3，0）的距离比它到定直线x=-5的距离少2。求：动点P的轨迹方程。O3-5Axym[解法一]轨迹法思考：如何化

6、去绝对值号？P点在直线左侧时，

7、PH

8、<

9、PA

10、,不合题意。故x>-5P如图，PH例1动点P（x，y）到定点A（3，0）的距离比它到定直线x=-5的距离少2。求：动点P的轨迹方程。3-5Axym[解法一]轨迹法[解法二]定义法如图，-3n作直线n：x=-3则点P到定点A（3，0）与定直线n：x=-3等距离。P（x，y）故，点P的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线。An依题设知x>-5,y2=12x轨迹法定义法待定系数法静音练习1练习2由题设条件，根据圆锥曲线的定义确定曲线的形状后，写出曲线的方程。例2等腰直角三角形

11、ABC中，斜边BC长为，一个椭圆以C为其中一个焦点，另一个焦点在线段AB上，且椭圆经过点A，B。求：该椭圆方程。O[解]xyACBO

12、BC

13、=如图，设椭圆的另一个焦点为DD以直线DC为x轴，线段DC的中点为原点建立直角坐标系。设椭圆方程为（a>b>0)则

14、AD

15、+

16、AC

17、=2a，

18、BD

19、+

20、BC

21、=2a所以，

22、AD

23、+

24、BD

25、+

26、AC

27、+

28、BC

29、=4a即例2等腰直角三角形ABC中，斜边BC长为，一个椭圆以C为其中一个焦点，另一个焦点在线段AB上，且椭圆经过点A，B。求：该椭圆方程。O[解]xyACBO得D

30、AD

31、

32、+

33、AC

34、=2a

35、AC

36、=

37、AD

38、=在ADC中

39、DC

40、2=

41、AD

42、2+

43、AC

44、2=（）2+16=242cc2=6，b2=a2c2=（2+）2-6=故所求椭圆方程为注：重视定义！轨迹法定义法待定系数法静音练习1练习2例3椭圆、双曲线和抛物线都经过点M（2，4），它们的对称轴都是坐标轴，抛物线的顶点在原点，三种曲线