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1、轨迹方程问题常见的有六种求轨迹方程的方法：①待定系数法：由几何量确定轨迹方程；②定义法：根据曲线的定义，求轨迹方程；③直接法：给出某些条件（几何、三角或向量表达式等）求轨迹方程；④“代入法”求轨迹方程；⑥参数法（包括解决中点弦问题的点差法）求轨迹方程．⑤“交轨法”求轨迹方程；1．直接法求轨迹方程．给出某种条件：平面几何、三角函数、解析几何、向量形式等．求解程序：①设动点P的坐标为P(x，y)；②按题目的条件写出关系式；③整合关系式；④注明范围．例1．设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,，动点的轨迹为E．求轨迹
2、E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状；解：因为,,，所以·＝，即．当m＝0时，方程表示两条直线：；当时，方程表示的是圆：；当m＞0且时，方程表示的是椭圆；当m＜0时,方程表示的是双曲线．2．根据圆锥曲线的定义，求轨迹方程例2．如图,圆O1与圆O2的半径都是1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.PMN解：如图，以直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，则两圆心分别为．设，则，同理．∵，∴，即，即．这就是动点的轨
3、迹方程．注：动圆圆心轨迹问题①动圆与两外离定圆均外切(含相交)；②动圆过定点且定圆外切；③动圆过定点且定直线相切；④动圆与两定圆一个外切，一个内切；⑤动圆过定点且定圆相切．3．参数法求轨迹方程：7例3．动圆P过点A(0,1)且与直线y=-1相切，O是坐标原点，动圆P的圆心轨迹是曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）过A作直线交曲线C于两点，求弦的中点的轨迹方程；（3）在（2）中求的重心G的轨迹方程。解：(1)点P到点A的距离等于点P到直线y=-1的距离，故点P的轨迹C是以点A为焦点，直线y=-1为准线的抛物线，所以
4、曲线C的方程x2=4y.另解：（2），设，，，则由，，两式相减得，又，，即.（3）设G（x,y）,由（2）得，，消去k得：为所求方程。4．“代入法”求轨迹方程：设点M是已知曲线F（x，y）＝0上的动点，点P因点M的运动而运动（即点P是点M的相关点），求点P的轨迹方程．①设点M的坐标为M（，），则F（，）＝0；②设点P的坐标为P（x，y）；③因为“点P随点M的运动而运动”，可以求得：＝f（x，y），＝g（x，y）；④把＝f（x，y），＝g（x，y）代入F（，）＝0，即得所求点P的轨迹方程．例4.已知点为双曲线（为正
5、常数）上任一点,为双曲线的右焦点,过作右准线的垂线,垂足为,连接并延长交轴于.求线段的中点的轨迹的方程.解：(1)由已知得,则直线7的方程为:,令得,即,设,则,即，代入得:,即的轨迹的方程为5．“交轨法”求轨迹方程：设动曲线F(x,y）＝0和动曲线G(x，y)＝0相交于点P，求点P的轨迹方程．从理论上，其求解程序为：①设动点P的坐标为：；②解方程组，求交点即得到．其中一般会含有参数，有一个消除参数的难点．例5．已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的离心率为．以原点为圆心，以椭圆短半轴长为半径的圆与直线y＝x＋2相切．（
6、1）求a与b的值；（2）设该椭圆的左，右焦点分别为和，直线过且与x轴垂直，动直线与y轴垂直，交于点P.求线段的垂直平分线与直线的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型.解：（1）e＝＝．又圆心（0，0）到直线y＝x＋2的距离d＝半径b＝，∴＝2，＝3．（2）（－1，0）、（1，0），由题意可设P（1，t）（t≠0）.那么线段的中点为N（0，）．的方程为：y＝t，设M()是所求轨迹上的任意点.直线的斜率k＝，∴线段的中垂线MN的斜率＝－．所以：直线MN的方程为：y－＝－x．7由，消去参数t得：，即：，其轨迹为抛物线（除原
7、点）．又解：由于＝（－x，－y），＝（－x，－y）．∵·＝0，∴，消参数t得：（x≠0），其轨迹为抛物线（除原点）．注：本题的第一问是由几何量确定轨迹方程；第二问是“交轨法”求轨迹方程．例6．已知曲线：所围成的封闭图形的面积为，曲线的内切圆半径为，记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆．(1)求椭圆的标准方程；(2)设是过椭圆中心的任意弦，是线段的垂直平分线，是上异于椭圆中心的点．若＝λ(为坐标原点)，当点在椭圆上运动时，求点的轨迹方程．解：(1)由题意得椭圆方程：＝1．(2)若AB所在的斜率存在且不为零，设AB所
8、在直线方程为y＝kx(k≠0)，A()．由．设M(x，y)，由
9、MO
10、＝λ
11、OA
12、(λ≠0)
13、MO
14、2＝λ2
15、OA
16、2．7因为L是AB的垂直平分线，所以直线L的方程为y＝k＝，代入上式有：，由，当k＝0或不存时，上式仍然成立.，综上所述，M的轨迹方程为，（λ0）．例7．已知椭圆的中心为直角坐标系的原点，焦点在轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1．（1）求椭圆的方
