求曲线轨迹方程专题

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时间:2018-08-02

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1、轨迹方程问题常见的有六种求轨迹方程的方法:①待定系数法:由几何量确定轨迹方程;②定义法:根据曲线的定义,求轨迹方程;③直接法:给出某些条件(几何、三角或向量表达式等)求轨迹方程;④“代入法”求轨迹方程;⑥参数法(包括解决中点弦问题的点差法)求轨迹方程.⑤“交轨法”求轨迹方程;1.直接法求轨迹方程.给出某种条件:平面几何、三角函数、解析几何、向量形式等.求解程序:①设动点P的坐标为P(x,y);②按题目的条件写出关系式;③整合关系式;④注明范围.例1.设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为E.求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;解:因为,,,所以·=,即.当m=

2、0时,方程表示两条直线:;当时,方程表示的是圆:;当m>0且时,方程表示的是椭圆;当m<0时,方程表示的是双曲线.2.根据圆锥曲线的定义,求轨迹方程例2.如图,圆O1与圆O2的半径都是1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切点),使得试建立适当的坐标系,并求动点P的轨迹方程.PMN解:如图,以直线为轴,线段的垂直平分线为轴,建立平面直角坐标系,则两圆心分别为.设,则,同理.∵,∴,即,即.这就是动点的轨迹方程.注:动圆圆心轨迹问题①动圆与两外离定圆均外切(含相交);②动圆过定点且定圆外切;③动圆过定点且定直线相切;④动圆与两定圆一个外切,一个内切;

3、⑤动圆过定点且定圆相切.3.参数法求轨迹方程:7例3.动圆P过点A(0,1)且与直线y=-1相切,O是坐标原点,动圆P的圆心轨迹是曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)过A作直线交曲线C于两点,求弦的中点的轨迹方程;(3)在(2)中求的重心G的轨迹方程。解:(1)点P到点A的距离等于点P到直线y=-1的距离,故点P的轨迹C是以点A为焦点,直线y=-1为准线的抛物线,所以曲线C的方程x2=4y.另解:(2),设,,,则由,,两式相减得,又,,即.(3)设G(x,y),由(2)得,,消去k得:为所求方程。4.“代入法”求轨迹方程:设点M是已知曲线F(x,y)=0上的动点,点P因点M的运动而运

4、动(即点P是点M的相关点),求点P的轨迹方程.①设点M的坐标为M(,),则F(,)=0;②设点P的坐标为P(x,y);③因为“点P随点M的运动而运动”,可以求得:=f(x,y),=g(x,y);④把=f(x,y),=g(x,y)代入F(,)=0,即得所求点P的轨迹方程.例4.已知点为双曲线(为正常数)上任一点,为双曲线的右焦点,过作右准线的垂线,垂足为,连接并延长交轴于.求线段的中点的轨迹的方程.解:(1)由已知得,则直线7的方程为:,令得,即,设,则,即,代入得:,即的轨迹的方程为5.“交轨法”求轨迹方程:设动曲线F(x,y)=0和动曲线G(x,y)=0相交于点P,求点P的轨迹方程.

5、从理论上,其求解程序为:①设动点P的坐标为:;②解方程组,求交点即得到.其中一般会含有参数,有一个消除参数的难点.例5.已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为.以原点为圆心,以椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切.(1)求a与b的值;(2)设该椭圆的左,右焦点分别为和,直线过且与x轴垂直,动直线与y轴垂直,交于点P.求线段的垂直平分线与直线的交点M的轨迹方程,并指明曲线类型.解:(1)e==.又圆心(0,0)到直线y=x+2的距离d=半径b=,∴=2,=3.(2)(-1,0)、(1,0),由题意可设P(1,t)(t≠0).那么线段的中点为N(0,).的方程为:y=t,设M()是所

6、求轨迹上的任意点.直线的斜率k=,∴线段的中垂线MN的斜率=-.所以:直线MN的方程为:y-=-x.7由,消去参数t得:,即:,其轨迹为抛物线(除原点).又解:由于=(-x,-y),=(-x,-y).∵·=0,∴,消参数t得:(x≠0),其轨迹为抛物线(除原点).注:本题的第一问是由几何量确定轨迹方程;第二问是“交轨法”求轨迹方程.例6.已知曲线:所围成的封闭图形的面积为,曲线的内切圆半径为,记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆.(1)求椭圆的标准方程;(2)设是过椭圆中心的任意弦,是线段的垂直平分线,是上异于椭圆中心的点.若=λ(为坐标原点),当点在椭圆上运动时,求点的轨迹方程.解:

7、(1)由题意得椭圆方程:=1.(2)若AB所在的斜率存在且不为零,设AB所在直线方程为y=kx(k≠0),A().由.设M(x,y),由

8、MO

9、=λ

10、OA

11、(λ≠0)

12、MO

13、2=λ2

14、OA

15、2.7因为L是AB的垂直平分线,所以直线L的方程为y=k=,代入上式有:,由,当k=0或不存时,上式仍然成立.,综上所述,M的轨迹方程为,(λ0).例7.已知椭圆的中心为直角坐标系的原点,焦点在轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆的方

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