15-4一维势阱和势垒

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1、§16-3一微无限深方势阱中的粒子一、一维无限深方形势阱二、薛定谔方程和波函数三、旧量子论的半经典解释1举几个小例1)说明量子力学解题的思路2)了解量子力学给出的一些重要的结论21.由粒子运动的实际情况正确地写出势函数U(x)2.代入定态薛定谔方程3.解方程4.解出能量本征值和相应的本征函数5.求出概率密度分布及其他力学量一、量子力学解题的一般思路3二、几种势函数1.自由粒子2.方势阱无限深方势阱能级结构问题方势阱4方势阱是实际情况的极端化和简化分子束缚在箱子内三维方势肼金属中的电子53.势垒梯形势散射问题势垒隧道贯穿

2、64.其他形式超晶格谐振子7a金属U(x)U=U0U=U0EU=0x极限U=0EU→∞U→∞U(x)x0a无限深方势阱（potentialwell）一、一维无限深方形势阱功函数分子束缚在箱子内三维方势肼8U=0EU→∞U→∞U(x)x0a特点：粒子在势阱内受力为零势能为零在阱内自由运动在阱外势能为无穷大在阱壁上受极大的斥力不能到阱外91.势函数粒子在阱内自由运动不能到阱外二、薛定谔方程和波函数阱外0阱内0102.哈密顿量3.定态薛定谔方程阱外：阱内：011根据波函数有限的条件阱外1)阱外4.分区求通解12令2)

3、阱内为了方便将波函数脚标去掉将方程写成通解式中A和B是待定常数135.由波函数标准条件和边界条件定特解通解是(1)解的形式解的形式为(2)能量取值14A已经为零了B不能再为零了即只能sinka等于零要求能量可能值151)每个可能的值叫能量本征值2)束缚态粒子能量取值分立(能级概念)能量量子化3)最低能量不为零波粒二象性的必然结果请用不确定关系说明4)当n趋于无穷时能量趋于连续5)通常表达式写为讨论L--阱宽16(3)本征函数系由归一性质定常数B得本征函数17考虑到振动因子（驻波解）6.定态波函数187.概率密度19小结

4、：本征能量和本征函数的可能取值20一维无限深方势阱中粒子的波函数和概率密度oaao21时，量子经典玻尔对应原理

5、2Ψn

6、an很大En022三、旧量子论的半经典解释粒子在阱外的波函数为零允许的波长为:粒子的动量粒子在势阱内动量为阱内的波函数在阱壁上的值也必为零（驻波）量子化能量由波函数的连续性23能量量子化是粒子的波动性和边界条件的必然o允许的波长为:24§16-3一维势阱和势垒问题一、一维无限深方势阱对于一维无限深方势阱有∞0aU(x)∞势阱内U(x)=0，哈密顿算符为定态薛定谔方程为令薛定谔方程的解为25根据，可

7、以确定=0或m，m=1,2,3,。于是上式改写为根据，得ka=n，n=1,2,3,…因为当n=0时，必定k=0，定态薛定谔方程应有解得(x)Cx+D所以由此式知：一维无限深方势阱的能谱是分立谱,这个分立的能谱就是量子化了的能级。基态的能量为零点能26与能量本征值En相对应的本征函数n(x)为利用归一化条件，得归一化波函数为一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度稳定的驻波能级27得到两相邻能级的能量差例题1设想一电子在无限深势阱，如果势阱宽度分别为1.0×10-2m和10-10m。试讨论这两中情

8、况下相邻能级的能量差。解：根据势阱中的能量公式可见两相邻能级间的距离随着量子数的增加而增加，而且与粒子的质量m和势阱的宽度a有关。28在这种情况下，相邻能级间的距离是非常小的，我们可以把电子的能级看作是连续的。当a=10-10m时在这种情况下，相邻能级间的距离是非常大的，这时电子能量的量子化就明显的表现出来。当a=1cm时29当n>>1时,能级的相对间隔近似为可见能级的相对间隔随着n的增加成反比地减小。要小的多。这时，能量的量子较之当时，化效应就不显著了，可认为能量是连续的，经典图样和量子图样趋与一致。所以，经典物理可

9、以看作是量子物理中时的极限情况。量子数30例题2.试求在一维无限深势阱中粒子概率密度的最大值的位置。解：一维无限深势阱中粒子的概率密度为将上式对x求导一次，并令它等于零因为在阱内，即只有31于是由此解得最大值得位置为例如可见，概率密度最大值的数目和量子数n相等。最大值位置最大值位置最大值位置32这时最大值连成一片，峰状结构消失，概率分布成为均匀，与经典理论的结论趋于一致。相邻两个最大值之间的距离如果阱宽a不变，当时33二、势垒穿透和隧道效应有限高的势垒在P区和S区薛定谔方程的形式为其中在Q区粒子应满足下面的方程式式中3

10、4用分离变量法求解，得(P区)(Q区)(S区)在P区，势垒反射系数在Q区，势垒透射系数粒子能够穿透比其动能高的势垒的现象，称为隧道效应。如图是在隧道效应中波函数分布的示意图。隧道效应的应用：扫描隧道显微镜(STM)隧道二极管35经典量子隧道效应36例1:证明无限深方势阱中，不同能级的粒子波函数具有下面正交性的性质：即不同能级的波函