势阱中的粒子势垒谐振子

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1、§18-8势阱中的粒子势垒谐振子1.一维无限深势阱若质量为m的粒子，在保守力场的作用下，被限制在一定的范围内运动，其势函数称为势阱。为了简化计算，提出理想模型——无限深势阱。一维无限深势阱：a保守力与势能之间的关系：在势阱边界处，粒子要受到无限大、指向阱内的力，表明粒子不能越出势阱,即粒子在势阱外的概率为0。势阱内的一维定态薛定谔方程为：解为：一维无限深势阱由边界条件得：据归一化条件，得得波函数表达式：一维无限深势阱(1)粒子能量不能取连续值得能量取分立值（能级），能量量子化是粒子处于束缚态的所具有的性质。由讨论：一维无限深势阱（2）粒子的最小能量不等于零最小能量也称为基态

2、能或零点能。零点能的存在与不确定度关系协调一致。一维无限深势阱(3)粒子在势阱内出现概率密度分布不受外力的粒子在0到a范围内出现概率处处相等。量子论观点：0a=1=2=3=4nnnn0a当很大时，量子概率分布就接近经典分布经典观点：一维无限深势阱（4）有限深势阱，粒子出现的概率分布如果势阱不是无限深，粒子的能量又低于势璧，粒子在阱外不远处出现的概率不为零。0a经典理论无法解释，实验得到证实。一维无限深势阱得到两相邻能级的能量差例题18-15设想一电子在无限深势阱，如果势阱宽度分别为1.0×10-2m和10-10m。试讨论这两中情况下相邻能级的能量差。解：根据势阱中的能量公式当a

3、=1cm时可见两相邻能级间的距离随着量子数的增加而增加，而且与粒子的质量m和势阱的宽度a有关。一维无限深势阱在这种情况下，相邻能级间的距离是非常小的，我们可以把电子的能级看作是连续的。当a=10-10m时在这种情况下，相邻能级间的距离是非常大的，这时电子能量的量子化就明显的表现出来。一维无限深势阱可见能级的相对间隔随着n的增加成反比地减小。当时，较之要小的多。这时，能量的量子化效应就不显著了，可认为能量是连续的，经典图样和量子图样趋与一致。所以，经典物理可以看作是量子物理中量子数时的极限情况。当n>>1时,能级的相对间隔近似为一维无限深势阱例题18-16试求在一维无限深势阱中粒

4、子概率密度的最大值的位置。解：一维无限深势阱中粒子的概率密度为将上式对x求导一次，并令它等于零因为在阱内，即只有一维无限深势阱于是由此解得最大值得位置为例如最大值位置最大值位置最大值位置可见，概率密度最大值的数目和量子数n相等。一维无限深势阱这时最大值连成一片，峰状结构消失，概率分布成为均匀，与经典理论的结论趋于一致。相邻两个最大值之间的距离如果阱宽a不变，当时一维无限深势阱2.一维势垒隧道效应一维方势阱如图ⅠⅡⅢ粒子沿方向运动,当粒子可以通过势垒。当，实验证明粒子也能通过势垒,这只有由量子力学的到解释。设三个区域的波函数分别为在各区域薛定谔方程分别为令为实数一维势垒解为：一维

5、势垒三个区域中波函数的情况如图所示：隧道效应在粒子总能量低于势垒壁高的情况下,粒子有一定的概率穿透势垒.此现象称为隧道效应。贯穿势垒的概率定义为在处透射波的强度与入射波的强度之比：贯穿概率与势垒的宽度与高度有关。一维势垒扫描隧道显微镜(STM)原理：利用电子的隧道效应。金属样品外表面有一层电子云，电子云的密度随着与表面距离的增大呈指数形式衰减，将原子线度的极细的金属探针靠近样品，并在它们之间加上微小的电压，其间就存在隧道电流，隧道电流对针尖与表面的距离及其敏感，如果控制隧道电流保持恒定，针尖的在垂直于样品方向的变化，就反映出样品表面情况。48个Fe原子形成“量子围栏”，围栏中的

6、电子形成驻波。STM的横向分辨率已达，纵向分辨达,STM的出现，使人类第一次能够适时地观察单个原子在物质表面上的排列状态以及表面电子行为有关性质。扫描隧道显微镜3.谐振子谐振子的势能为薛定谔方程为其能量本征值为基态能(零点能)能级间隔一维谐振子的能级谐振子一维谐振子的能级谐振子