“球的体积”教学

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1、“球的体积”教学编者按：马明先生的这篇用“祖暅原理”来推导“球的体积公式”的教案，风靡全国久矣。然现行高中立几教材对“球的体积公式”已不用“祖暅原理”来推导，而采用“分割，求近似和转化为准确和”的方法。本书之所以再次转载，是因为这篇教案魅力不减，仍极具教学参考和鉴赏阶值。一、教案描述：通过“球的体积”的教学，不仅要求学生熟记球的体积公式，更要培养学生观察、估算、猜想、构造和论证能力，并注意完善学生认知结构.[若只要求学生记住有关公式，剩下的就是反复练习——解几个一元方程：已知半径求体积；已知体积求半径，

2、……这是降低教学要求，把高中课降为初中课的做法]师:（板书）已知球的半径为R，求V球=？（出示小黑板——图23）[思维从问题开始]师:为了计算半径为R球的体积，可以先计算半球的体积V半球.观察图23，你一定能在V圆柱、V半球、V圆锥这三个量之间正确地写上不等符号（学生完成）得V圆柱>V半球>V圆锥.[提供类比,让学生目测大小,温故而知新,用以强化认识过程]师:由于是已知的，便得双重不等式（板书）:V圆柱=V圆锥=[向“量化”过渡]你能猜测V半球=?[引诱学生猜想.猜想是发现的开始]生:……[诱导一下]师

3、:(πR3的系数“1”改写为“”,得师:可以大胆一些,准许猜错.生:V半球=对吗?[此答案不一定出自成绩最好的学生,而是胆大者,思维活跃者]师:有一定理由,因为3/3>2/3>1/3嘛!然而,这太冒险了.[既鼓励,又提出更高要求,使学生仍处于激奋境地]6[用行动支持敢于大胆猜想的学生]师:我们不妨做一个试验,用以验证这个猜想.[理、化有实验,数学也可以有实验,美国盛行“数学实验教学法”,这对激发学生学习兴趣,培养学习能力都十分有利][取一个半径为R的半球面,再取半径和高都是R的圆桶和圆锥各一个,都是铁皮

4、制成的容器.将圆锥放入圆桶内(图24),再将半球容器装满细沙,然后把半球内的细沙倒入圆桶内,发现圆桶恰好被装满]师:你能将实验结果用一个等式表达出来吗?[鼓励学生将实验结果“量化”(构造一个等式)是十分重要的数学方法]生1:[板书]V圆柱―V圆锥=V半球生2:[板书]V半球=V圆柱―V圆锥=师:于是得(板书)V球=且V圆柱:V半球:V圆锥=3:2:1师:中学数学是建立在推理的基础上的,实验结果是否可靠?还要进行论证才行.[中学理、化是建立在实验基础上的][用数学工具去证明实验结果,学生兴趣盎然]师:我们

5、现在的任务是证明这个实验结果,或者说,是要证明图23右边充满细沙的几何体与左边充满细沙的半球是等积形.而右边几何体的体积是已知的.[板书]该几何体的体积=6.如果再能证明它又符合祖暅原理中的“条件”.我们就可以将它做为半球的参照体;[为了运用祖暅原理,所引入的几何体必须符合两个条件:①它的计算公式是已知的②它符合祖暅原理的条件;该几何体与原几何体要夹在两个平行平面之间,且用平行于这两个平面的任意一个平面去截时,截得的截面面积总相等.符合以上两个条件的几何体可叫做原几何体的参照体,在前面推导柱、锥的体积的

6、多次教学中应该引用这个术语，让学生熟悉祖暅原理与该术语的关系]该几何体与半球同高(R),这说明它与半球可以夹在两个平行平面之间,剩下的问题是要证明它与半球的等距截面的面积相等.用与底面平行的任一平面去截图24的两个几何体,截面分别是圆面和圆环面(图25).如果截面与平面α的距离为l,那么圆面半径,圆环面的大圆半径为R,小圆半径为l,因此S圆=πr2=π(R2–l2),S圆环=πR2–πl2=π(R2–l2),所以S圆=S环根据祖暅原理,这两个几何体的体积相等,即V半球=所以V球=由此,“猜想”得到证明,

7、可以写成定理形式:[从猜想到证明是“质”的升华!是学习数学的最重要的素质]定理:如果球的半径是R,那么它的体积是V球=师:你准备怎样记忆这个结论呢?[不管是意义识记或是机械识记,在这里都是有效的,都是可行的.根据各个学生的学习习惯,不必强求一律]生1:根据“细沙实验”V半球=V圆柱―V圆锥=V球=生2:我保要记住V圆柱:V半球:V圆锥=3:2:1就行了.师:还有其它的记忆方法吗?例如,把球体视为拟柱体,采用拟柱体的体积公工试试看.[数学教师要不要培养学生的记忆能力?这是有争议的.看来,数学教师有可能,也

8、有必要去培养学生的记忆能力]生:[板演]6V拟柱体=对于球,所以V球==[随时复习与应用拟柱体公式]师:这能作为球体积公式的证明吗?生:球体不是拟柱体,不能作为证明,但可以作为一种记忆方法.师:还有其它的记忆方法吗?例如,将球体分割成许多小的锥体,球心是这些小锥体的顶点,锥的底面不是平面,而是球面的一小部分(是曲面)请看图26.[是可贵的数学思想]于是V球=许多小锥体之和,而这许多小锥体的高可视为球半径R，又因为所有小锥体的底面之和=球面积