对数及其运算讲义

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1、个性化辅导讲义学生：科目：数学教师：第阶段第次课2013年月日课题：对数及运算授课内容：（一）对数1．对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：（—底数，—真数，—对数式）说明：注意底数的限制，且；；注意对数的书写格式．两个重要对数：常用对数：以10为底的对数；自然对数：以无理数为底的对数的对数．指数式与对数式的互化＝N＝b（二）对数的运算性质如果，且，，，那么：·＋；－；．注意：换底公式（，且；，且；）．利用换底公式推导下面的结论（1）；（2）．18杭州龙文教育科技有限公司个性化辅导讲义（四）例题例1、设a，b，c都是正数，且3

2、a=4b=6c，那么（　　）A、=+B、=+C、=+D、=+解：由a，b，c都是正数，且3a=4b=6c=M，则a=log3M，b=log4M，c=log6M例2、若a＞1，b＞1，p=，则ap等于（　　）A、1B、bC、logbaD、alogba解：由对数的换底公式可以得出p==loga（logba），因此，ap等于logba．例3、设x=+，则x属于区间（　　）A、（﹣2，﹣1）B、（1，2）C、（﹣3，﹣2）D、（2，3）解：由题意，x=+=+=；∵函数y=在定义域上是减函数，且，∴2＜x＜3．例4、若32x+9=10•3x，那么x2+1

3、的值为（　　）A、1B、2C、5D、1或5分析：由题意可令3x=t，（t＞0），原方程转化为二次方程，解出在代入x2+1中求值即可．选D例5、已知2lg（x﹣2y）=lgx+lgy，则的值为（　　）A、1B、4C、D、或418杭州龙文教育科技有限公司个性化辅导讲义解：∵2lg（x﹣2y）=lg（x﹣2y）2=lg（xy），∴x2+4y2﹣4xy=xy∴（x﹣y）（x﹣4y）=0∴x=y（舍）或x=4y∴=4例6、方程log2（x+4）=2x的根的情况是（　　）A、仅有一根B、有两个正根C、有一正根和一个负根D、有两个负根专题：数形结合。例7、如

4、果方程lg2x+（lg7+lg5）lgx+lg7•lg5=0的两根为α、β，则α•β的值是（　　）A、lg7•lg5B、lg35C、35D、分析：由题意知，lgα，lgβ是一元二次方程x2+（lg7+lg5）x+lg7•lg5=0的两根，依据根与系数的关系得lgα+lgβ=﹣（lg7+lg5），再根据对数的运算性质可求得α•β的值．α•β的值是．例8、（3+2）=　﹣2　；log89•log2732=　　；（lg5）2+lg2•lg50=　1　．解：==，所以18杭州龙文教育科技有限公司个性化辅导讲义=﹣2；log89•log2732==（lg

5、5）2+lg2•lg50=（lg5）2+lg•lg5×10=（lg5）2+（1﹣lg5）•（1+lg5）=1故答案为：﹣2；；1例9、方程（4x+4﹣x）﹣2（2x+2﹣x）+2=0的解集是　{0}　．解：令t=2x+2﹣x＞0，则4x+4﹣x=t2﹣2原方程可以变为t2﹣2t=0，故t=2，或者t=0（舍）故有2x+2﹣x=2即（2x）2﹣2×2x+1=0∴（2x﹣1）2=0∴2x=1即x=0例10、若α、β是方程lg2x﹣lgx2﹣2=0的两根，求logαβ+logβα的值．分析：利用对数的原式法则化简方程；将方程看成关于lgx的二次方程，

6、利用根与系数的关系得lgα+lgβ=2，lgα•lgβ=﹣2；利用换底公式将待求的式子用以10为底的对数表示，将得到的等式代入求出值．解：原方程等价于lg2x﹣2lgx﹣2=0∵α，β是方程的两个根所以lgα+lgβ=2，lgα•lgβ=﹣2所以=-4即logαβ+logβα=﹣3例11、解关于x的方程．（1）log（x+a）2x=2．（2）log4（3﹣x）+log0.25（3+x）=log4（1﹣x）+log0.25（2x+1）；（3）+=6；18杭州龙文教育科技有限公司个性化辅导讲义（4）lg（ax﹣1）﹣lg（x﹣3）=1．（1）要注意

7、对数式与指数式的转化关系；（2）利用对数运算性质进行转化变形；（3）注意到两项的联系，利用整体思想先求出整体，进一步求出方程的根；（4）利用对数的运算性质进行转化与变形是解决本题的关键．注意对字母的讨论．解：（1）该方程可变形为2x=（x+a）2，即x=1﹣a±（当a≤时），当x=1﹣a﹣时，x+a=1﹣＜0，故舍去．因此该方程的根为x=1﹣a+（当a≤时），当a＞时，原方程无根．（2）该方程可变形为log4=log4，即，整理得x2﹣7x=0，解出x=0或者x=7（不满足真数大于0，舍去）．故该方程的根为x=0．（3）该方程变形为=6，即，令

8、，则可得出t+，解得t=3±2=，因此x=±2．该方程的根为±2．（4）原方程等价于，由得出ax﹣1=10x﹣30，该方程当a=10时没有根，当a≠1