第一章 科学计算与数学建模绪论

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1、第一章绪论1.1数学与科学计算数学是科学之母，科学技术离不开数学，它通过建立数学模型与数学产生紧密联系，数学又以各种形式应用于科学技术各领域。数学擅长处理各种复杂的依赖关系，精细刻画量的变化以及可能性的评估。它可以帮助人们探讨原因、量化过程、控制风险、优化管理、合理预测。几十年来由于计算机及科学技术的快速发展，求解各种数学问题的数值方法即计算数学也越来越多地应用于科学技术各领域，新的计算性交叉学科分支纷纷兴起，如计算力学、计算物理、计算化学、计算生物、计算经济学等。科学计算是指利用计算机来完成科学研究和工程技术中

2、提出的数学问题的计算，是一种使用计算机解释和预测实验中难以验证的、复杂现象的方法。科学计算是伴随着电子计算机的出现而迅速发展并获得广泛应用的新兴交叉学科，是数学及计算机应用于高科技领域的必不可少的纽带和工具。科学计算涉及数学的各分支，研究它们适合于计算机编程的数值计算方法，就是计算数学的任务，它是各种计算性学科的联系纽带和共性基础，兼有基础性、应用性和边缘性的数学学科。它面向的是数学问题本身而不是具体的物理模型，但它又是各计算学科共同的基础。随着计算机技术的飞速发展，科学计算在工程技术中发挥着愈来愈大的作用,已成

3、为继科学实验和理论研究之后科学研究的第三种方法。在实际应用中所建立的数学模型其完备形式往往不能方便地求出精确解，于是只能转化为简化模型，如将复杂的非线性模型忽略一些因素而简化为线性模型，但这样做往往不能满足精度要求。因此，目前使用数值方法来直接求解较少简化的模型，可以得到满足精度要求的结果，使科学计算发挥更大作用。了解和掌握科学计算的基本方法、数学建模的过程和基本方法已成为科技人才必需的技能。因此，科学计算与数学建模的基本知识和方法是工程技术人才必备的数学素质。1.2数学建模及其重要意义数学，作为一门研究现实世界

4、数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和人们生活的实际需要密切相关。用数学方法解决工程实际和科学技术中的具体技术问题时，首先必须将具体问题抽象为数学问题，即建立起能描述并等价代替该实际问题的数学模型，然后将建立起的数学模型，利用数学理论和计算技术进行推演、论证和计算，得到欲求解问题的解析解或数值解，最后用求得的解析解和数值解来解决实际问题。本篇主要介绍数学建模技术和求解数学问题的数值方法。1.2.1数学建模的过程数学建模过程就是从现实对象到数学模型，再从数学模型回到现实对象的循环，一般通过表

5、述、求解、解释、验证几个阶段完成，数学建模过程和数学模型求解方法分别如图1.2.1和图1.2.2所示。表述是将现实问题“翻译”成抽象的数学问题，属于归纳。数学模型的求解方法则属于演绎。归纳是依据个别现象推出一般规律；演绎是按照普遍原理考察特定对象，导出结论。演绎利用严格的逻辑推理，对解释现象作出科学预见，具有重要意义，但是它要以归纳的结论作为公理化形式的前提，只有在这个前提下才能保证其正确性。因此，归纳和演绎是辨证统一的过程：归纳是演绎的基础，演绎是归纳的指导。图1.2.1数学建模过程示意图图1.2.2数学模型求

6、解方法示意图解释是把数学模型的解答“翻译”回到现实对象，给出分析、预报、决策或控制的结果。最后作为这个过程重要的一个环节，这些结果需要用实际的信息加以验证。图1.2.1也揭示了现实问题和数学建模的关系。一方面，数学模型是将现实生活中的现象加以归纳、抽象的产物，它源于现实，又高于现实。另一方面，只有当数学模型的结果经受住现实问题的检验时，才可以用来指导实际，完成实践→理论→实践这一循环。1.2.2数学建模的一般步骤一般说来，建立模型需要经过哪几个步骤并没有一定的模式，通常与问题的性质和建模的目的等因素有关。下面介绍

7、建立数学模型的一般过程，如图1.2.3所示：图1.2.3数学建模的一般步骤模型准备了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必要的信息，如数据和现象等，弄清楚所要研究对象的主要特征，形成一个比较清晰的“数学问题”。模型假设根据现象的特征和建模的目的，抓住问题的本质、忽略次要因素，作出必要的、合理的、简化的假设，并且要在合理和简化之间做出恰当的折中。通常，作假设的依据，一是处于对问题内在规律的认识，二是来自对现象、数据的分析，以及二者的结合。模型构成根据所作的假设，用数学的语言、符号描述对象的内在规律，建立包含常量、变

8、量等的数学模型，如优化模型、微分方程模型、差分方程模型、图论模型等。在建模过程中要遵循尽量采用简单的数学工具这一原则，以便更多的人了解和使用。模型求解可以采用解方程、画图形、优化方法、数值计算、统计分析等各种数学方法，特别是当前迅猛发展的数学软件和计算机技术。模型分析对求解结果进行数学上的分析，如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的灵敏性分析、对假设的强健性分析等。模型