科学计算与数学建模第一章

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1、计算方法电子教案中南大学数学科学学院应用数学与应用软件系1第一章  数值计算中的误差§1引言§2误差的种类及其来源§3绝对误差和相对误差§4有效数字及其与误差的关系§5误差的传播与估计§6算法的数值稳定性2§1引言计算方法也称数值分析。数值分析是研究各种数学问题求解的计算方法，即数值计算。利用计算尺、电子计算机等计算工具来求出数学问题得到数值解的全过程，称为数值计算。在电子计算机成为数值计算的主要工具的今天，需要研究适合计算机使用的数值计算方法。使用计算机解决科学计算问题时大致经历如下几个过程：3随着科学技术的突飞猛进，无论是工农业生产还是国防尖端技术，例如机电产品的设计、建筑工程

2、项目的设计、气象预报和新型尖端武器的研制、火箭的发射等，都有大量复杂的数值计算实际问题数学模型数值计算方法程序设计上机计算求出结果4问题急待解决。它们的复杂程度已达到非手工计算所能解决的地步。数字式电子计算机的出现和飞速发展大大推动了数值计算方法的进展，许多复杂的数值计算问题现在都可以通过电子计算机进行数值计算得到妥善解决。用数值计算的方法来解决工程实际和科学技术中的具体技术问题时，首先必须具体问题抽象为数学问题，即建立起能描述并等价代替该实际问题的数学模型，例如各种微分方程、积分方程、代数方程……等等，然后选择合适的计算方法(算法），编制出计算机程序，最后上机调试并进行计算，以得

3、到所欲求解的结果。5所谓数值计算方法，是指将所欲求解的数学模型（数学问题）简化成一系列算术运算和逻辑运算，以便在计算机上求出问题的数值解，并对算法的收敛性和误差进行分析、计算。这里所说的“算法”，不只是单纯得数学公式，而且是指由基本的运算和运算顺序的规定所组成的整个解题方案和步骤。一般可以通过框图（流程图）来较直观地描述算法的全貌。选定适合的算法是整个数值计算中非常重要的一环。例如，当计算多项式6次乘法和n次加法。n=10时需做55次乘法和10次加法。若用著名秦九韶（我国宋朝数学家）算法，将多项式P(x)改成的值时，若直接计算,再逐项相加，共需做7来计算时,只要做n次乘法和n次加法

4、即可。对于小型问题，计算的速度和占用计算机内存的多寡似乎意义不大。但对于复杂的大型问题而言，却是起着决定性作用。算法取得不恰当，不仅影响到计算的速度和效率，还会由于计算机计算的近似性和误差的传播、积累直接影响到计算结果的精度甚至直接影响到计算的成败。不合适的算法会导致计算误差达到不能容许的地步，而使计算最终失败，这就是算法的数值稳定性问题。数值计算过程中会出现各种误差，它们可分为两大类：一类是由于算题者在工作中的粗心大8意而产生的，例如笔误以及误用公式等，这类误差称为“过失误差”或“疏忽误差”。它完全是人为造成的，只要工作中仔细、谨慎，是完全可以避免的；而另一类为“非过失误差”，在

5、数值计算中这往往是无法避免的，例如近似值带来的误差，模型误差、观测误差、截断误差和舍入误差等。对于“非过失误差”，应该设法尽量降低其数值，尤其要控制住经多次运算后误差的积累，以确保计算结果的精度。下面是一个简单的例算，可以看出近似值带来的误差和算法的选择对计算结果的精度所产生的巨大影响。例如，要计算9可用四种算式算出：10如果分别用近似值和按上列四种算法计算值，其结果如下表1-1所示。由表1-1可见，按不同算式和近似值计算出的结果各不相同，有的甚至出现了负值，这真是差之毫厘，谬以千里。可见近似值和算法的选定对计算结果的精确度影响很大。因此，在研究算法的同时，还必须正确掌握误差的基本

6、概念，误差在近似值运算中的传播规律，误差分析、估计的基本方法和算法的数值稳定性概念，否则，一个合理的算法也可能会得出一个错误的结果。111234序号算式计算结果表1-1112衡量一个算法的好坏时，计算时间的多少是非常重要的一个标志。由于实际的执行时间依赖于计算机的性能，因此所谓算法所花时间是用它执行的所有基本运算，如算术运算、比较运算等的总次数来衡量的。这样时间与运算的次数直接联系起来了。当然，即使用一个算法计算同一类型的问题时，由于各问题的数据不同，计算快慢也会不同，一般是用最坏情况下所花的时间来作讨论。设输入数据的规模(size)是l(在网络问题中，l一般与节点数及弧数有关，而

7、对一般极值问题，l往往与变量数及约束数有关)，设在最坏情况下运算次数是f(l)，则f(l)称为算法的计算复杂性。13具有什么样的计算复杂性的算法被认为是好的呢？目前计算机科学中广为接受的观点是：多项式时间算法，即f(l)是关于l的一个多项式，或者以一个多项式为上界的。例如，等是好的算法；而指数时间算法，即f(l)是关于l的指数式，或以一个指数式为下界的，例如！等情况，则是坏的。这个看法的依据是很明白的，因为当l增大时，指数函数比多项式函数增长快。14注意:在理论上证明