数学建模与科学计算第五章

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1、第5章小行星轨道方程计算问题——线性方程组求解的直接法第5章小行星轨道方程计算问题——线性方程组求解的直接法5.1小行星轨道方程问题5.1.1问题的引入某天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，其单位为天文测量单位，在5个不同的时间对小行星作了5次观察，测得轨道上的5个点的坐标数据如表5-1所示.表5-1轨道上的5个点的坐标数据123455.7646.2866.7597.1687.4080.6481.2021.8232.5263.360试确立小行

2、星的轨道方程，并画出小行星的运动轨线图形．5.1.2模型的分析由开普勒第一定律知，小行星轨道为一椭圆，椭圆的一般方程为，需要确定系数．利用已知的数据，不妨设测得的5个点坐标为，欲确定系数ai等价于求解一个线性方程组上述方程组可写成矩阵的形式：，其中．5.1.3模型的假设(1)小行星轨道方程满足开普勒第一定律.(2)以上所测得数据真实有效．5.1.4模型的建立该问题的模型为，可见，解答上述问题就需要对线性方程组Ax=b进行求解．5.2线性

3、方程组直接解法概述直接解法就是利用一系列公式进行有限步计算，直接得到方程组的精确解的方法．当然，实际计算结果仍有误差，譬如舍入误差，而且舍入误差的积累有时甚至会严重影响解的精度．这是一个众所周知的古老方法，但用在计算机上仍然十分有效．求解线性方程组最基本的一种直接法是消去法．消去法的基本思想是，通过将一个方程乘以或除以某个常数，以及将两个方程相加减这两种手段，逐步减少方程中的变元的数目，最终使每个方程仅含一个变元，从而得出所求的解．高斯（Gauss）消去法是其中广泛应用的方法，其求解过程分为消元过

4、程和回代过程两个环节．消元过程将所给的方程组加工成上三角方程组，所归结的方程组再通过回代过程得出它的解．Gauss消去法由于添加了回代的过程，算法结构稍复杂，但这种改进的算法明显减少了计算量．直接法比较适用于中小型方程组．对高阶方程组，即使系数矩阵是稀疏的，但在运算中很难保持稀疏性，因而有存储量大，程序复杂等不足．5.3直接解法5.3.1Gauss消去法Gauss消去法是一个古老的求解线性方程组的方法，由它改进而来的选主元法是目前计算机上常用的有效的求解低阶稠密矩阵线性方程组的方法．例5.1

5、用Gauss消去法解方程组解〖JP4〗第1步，式加到式(5.3.2)上，式加到式(5.3.3)上，得到等价方程组第2步，式加到式(5.3.5)上得等价的方程组第3步，回代法求解方程组(5.3.6)，即可求得该方程组的解为.用矩阵描述其约化过程即为.这种求解过程称为具有回代的Gauss消去法．由此例可见，Gauss消去法的基本思想是：用矩阵的初等行变换将系数矩阵A化为具有简单形式的矩阵（如上三角阵、单位矩阵等），而三角形方程组是很容易回代求解的．一般地

6、，设有n个未知数的线性方程组为(5.3.7)则方程组(5.3.7)化为.方便起见，记且的元素记为，的元素记为，则消去法的步骤如下：第1步：，计算用乘方程组(5.3.7)中的第1个方程加到第i个方程中，即进行行初等变换，消去第2个到第个方程中的未知数,得等价方程组(5.3.8)记为，其中第k步：继续上述消元过程．第1步到第步计算已完成，且得到与原方程组等价的方程组(5.3.9)记为，进行第k步消

7、元：设，计算乘数用乘方程组(5.3.9)中第个方程加到第个方程上消去方程组(5.3.9)中第个方程的未知数，得到与原方程组等价的方程组：(5.3.10)记为其中中元素计算公式为(5.3.11)重复上述过程，且设共完成步消元计算，得到与方程组(5.3.7)等价的三角形方程组(5.3.12)再用回代法求方程组(5.3.12)的解，计算公式为(5.3.13)元素称为约化的主元素．将方程组(5.3.7)化为方程组(5.3.12)的过程称为消元过程．方程组(5

8、.3.12)的求解过程(5.3.13)称为回代过程．由消元过程和回代过程求解线性方程组的方法称为Gauss消去法．定理5.1（Gauss消去法）设,A为n×n阶矩阵．若约化的主元素，则可通过Gauss消去法（不断进行行的等变换）将方程组化为等价的三角形方程组(5.3.12)．消元和求解的计算公式为：1°消元计算2°回代计算5.3.2矩阵的三角分解下面用矩阵理论进一步来分析Gauss消去法，设约化主元素，由于对实行的行初