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《量子力学第3章-补充》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、补充3.5）设粒子处于半壁高的势场中（1）求粒子的能量本征值。求至少存在一条束缚能级的体积。解：分区域写出:（2）其中（3）方程的解为（4）根据对波函数的有限性要求，当时，有限，则当时，，则于是（5）在处，波函数及其一级导数连续，得（6）上两方程相比，得（7）即（7’）若令（8）则由（7）和（3），我们将得到两个方程：（10）式是以为半径的圆。对于束缚态来说，，结合（3）、（8）式可知，和都大于零。（10）式表达的圆与曲线在第一象限的交点可决定束缚态能级。当，即，亦即（11）时，至少存在一个束缚态能级。这是对粒子质量，位阱深度和宽度的一个限制。3—13）设粒子在下列势阱中运动，(
2、1)是否存在束缚定态？求存在束缚定态的条件。解：S.eq:(2)对于束缚态（），令(3)则(4)积分,,得跃变的条件(5)在处，方程(4)化为(6)边条件为因此(7)再根据点连续条件及跃变条件(5)，分别得(8)(9)由（8）（9）可得（以乘以（9）式，利用（8）式）(10)此即确定能级的公式。下列分析至少存在一条束缚态能级的条件。当势阱出现第一条能级时，，所以,利用,（10）式化为,因此至少存在一条束缚态能级的条件为（11）纯势阱中存在唯一的束缚能级。当一侧存在无限高势垒时，由于排斥作用（表现为，对）。束缚态存在与否是要受到影响的。纯势阱的特征长度。条件（11）可改写为（12）
3、即要求无限高势垒离开势阱较远（）。才能保证势阱中的束缚态能存在下去。显然，当（即），时，左侧无限高势垒的影响可以完全忽略，此时，式（10）给出即（13）与势阱的结论完全相同。令，则式（10）化为（14）由于，所以只当时，式（10）或（14）才有解。解出根之后，利用，即可求出能级（15）［7］设一谐振子处于基态，求它的并验证测不准关系：（解）由对称性知道，同理也由对称性知道对谐振子而言，应先写出归一化波函数：但（1）于是（2）为了计算这个积分，利用厄米多项式不同阶间的递推式：（3）此式作为已知的，不证。将前式遍乘ξ，重复用公式（4）将此式代入（2）此式最后一式第一项。第三项都和的正
4、交化积分式成比例，都等于零。第二项和归一化积分成比例；可以简化再计算，这可以利用波函数满足的微分方程式：（是振子质量）将此遍乘对积分测不准关系中的不准度是：测不准关系中的不准度是：=因m=0,而[9]一维无限深势阱中求处于态的粒子的动量分布几率密度。（解）因为是已知的，所以要求动量分布的几率密度，先要求动量波函数，这可利用福利衰变换的一维公式:利用不定积分公式用于前一式：(n奇数)，(n偶数)动量几率密度分别是，（n奇数），(n偶数)#[11]设粒子处在对称的双方势阱中0（1）在情况下求粒子能级，并证明能级是双重简并。（2）证明取有限值情况下，简并将消失。（解）本题的势场相对于原
5、点0来说是对称的，因此波函数具有字称。设总能量是E,又设在区间(,)(-a,a)(b,)之中波函数都是零，在区间(a,b)，设波函数是：(1)考虑x=a,x=b二连续条件：（势阱外面）(2)从这里得到，因而得,,因而得，n,是整数，满足边界条件的解是:再考虑区间，设波函数：(5)代入在二点的连续条件得得:,,但整数,因此区间的波函数:(6)(7)和之间要满足奇或偶宇称的要求,才能成为一组合理的解,若令,得A=B,相应的一组偶宇称解是:同理令,得到一组奇宇称解是(9)和是线性不相关的解,但却有相同的波数,因而也有相同的能级.能级是分立的,这可以从边界条件式同时满足的要求看到,这两式
6、推得相减得是整数,可作为能级编号.因此能级是是二度简并的注:在本题中因为左右两个势阱对称,粒子在两者中都能出现,和实际上是同一个函数,只是的取值范围不同.考察为有限值情形的解,先设E<设区间中的解是代入边界条件,的得因而或在的对称区中的解设是代入边界条件,得因而或(2)和情形相同,C=A,偶宇称解是(3)奇宇称解是(4)在区间内的解满足薛定谔方程但,令,知道这方程式的解可用实指数函数或双曲函数,计算法相类似.为计算方便直接设定区间偶宇称解(5)奇宇称解(6)这两者都满足此区间的薛氏方程式.为确定能量量子化条件,可以建立在边界点处,波函数及其一阶导数的连续条件.使用(3)和(5)有
7、:即：（7）即：（8）（7）和（8）相除得：将此式改用能量E的项来表示,得到偶宇称态的能量量子化条件：（9）注意若使用边界点x=-a上的连续条件,由于对称性得不到新解.其次求奇宇称的能量量子化条件,为此先写出x=a处连续条件,所用方程式是(4)和(6)即：（11）即：（12）相除得：改写成能量式子:（13）（9）和（13）是不同的方程式,它们所决定的能级是不相同的,因此偶宇称波函数（3）和（5）与奇宇称波函数（4）和（6）不具有相同的能量E,它们是非简并的.（9）（13）中E的分
