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1、补充3.5）设粒子处于半壁高的势场中<1）求粒子的能量本征值。求至少存在一条束缚能级的体积。解：分区域写出:<2）其中<3）方程的解为<4）b5E2RGbCAP根据对波函数的有限性要求，当时，有限，则当时，，则于是<5）在处，波函数及其一级导数连续，得<6）上两方程相比，得<7）p1EanqFDPw即<7’）若令<8）DXDiTa9E3d则由<7）和<3），我们将得到两个方程：<10）式是以为半径的圆。对于束缚态来说，，结合<3）、<8）式可知，和都大于零。<10）式表达的圆与曲线24/24在第一
2、象限的交点可决定束缚态能级。当，即，亦即RTCrpUDGiT<11）时，至少存在一个束缚态能级。这是对粒子质量，位阱深度和宽度的一个限制。3—13）设粒子在下列势阱中运动，(1>是否存在束缚定态？求存在束缚定态的条件。解：S.eq:(2>对于束缚态<），令(3>则(4>积分,,得跃变的条件(5>在处，方程(4>化为(6>边条件为因此(7>5PCzVD7HxA再根据点连续条件及跃变条件(5>，分别得(8>(9>由<8）<9）可得<以乘以<9）式，利用<8）式）(10>此即确定能级的公式。下列分析至少
3、存在一条束缚态能级的条件。当势阱出现第一条能级时，，所以,24/24利用,<10）式化为,因此至少存在一条束缚态能级的条件为<11）jLBHrnAILg纯势阱中存在唯一的束缚能级。当一侧存在无限高势垒时，由于排斥作用<表现为，对）。束缚态存在与否是要受到影响的。纯势阱的特征长度。xHAQX74J0X条件<11）可改写为<12）LDAYtRyKfE即要求无限高势垒离开势阱较远<）。才能保证势阱中的束缚态能存在下去。显然，当<即），时，左侧无限高势垒的影响可以完全忽略，此时，式<10）给出Zzz6ZB
4、2Ltk即<13）dvzfvkwMI1与势阱的结论完全相同。令，则式<10）化为<14）由于，所以只当时，式<10）或<14）才有解。解出根之后，利用，即可求出能级<15）［7］设一谐振子处于基态，求它的并验证测不准关系：<解）由对称性知道，同理也由对称性知道对谐振子而言，应先写出归一化波函数：24/24但<1）于是<2）为了计算这个积分，利用厄M多项式不同阶间的递推式：<3）此式作为已知的，不证。将前式遍乘ξ，重复用公式<4）将此式代入<2）此式最后一式第一项。第三项都和的正交化积分式成比例，都
5、等于零。第二项和归一化积分成比例；可以简化再计算，这可以利用波函数满足的微分方程式：<是振子质量）24/24将此遍乘对积分测不准关系中的不准度是：测不准关系中的不准度是：=因m=0,而[9]一维无限深势阱中求处于态的粒子的动量分布几率密度。<解）因为是已知的，所以要求动量分布的几率密度，先要求动量波函数，这可利用福利衰变换的一维公式:利用不定积分公式24/24用于前一式：(n奇数>，(n偶数>动量几率密度分别是，#[11]设粒子处在对称的双方势阱中0<1）在情况下求粒子能级，
6、并证明能级是双重简并。<2）证明取有限值情24/24况下，简并将消失。<解）本题的势场相对于原点0来说是对称的，因此波函数具有字称。设总能量是E,又设在区间(,>(-a,a>(b,>之中波函数都是零，在区间(a,b>，设波函数是：rqyn14ZNXI(1>考虑x=a,x=b二连续条件：<势阱外面）(2>从这里得到，因而得,,因而得，n,是整数，满足边界条件的解是:再考虑区间，设波函数：(5>代入在二点的连续条件得得:,,但整数,因此区间的波函数:(6>(7>和之间要满足奇或偶宇称的要求,才能成为一
7、组合理的解,若令,得A=B,相应的一组偶宇称解是:同理令,得到一组奇宇称解是24/24(9>和是线性不相关的解,但却有相同的波数,因而也有相同的能级.能级是分立的,这可以从边界条件式同时满足的要求看到,这两式推得EmxvxOtOco相减得是整数,可作为能级编号.因此能级是是二度简并的注:在本题中因为左右两个势阱对称,粒子在两者中都能出现,和实际上是同一个函数,只是的取值范围不同.SixE2yXPq5考察为有限值情形的解,先设E<设区间中的解是代入边界条件,的得因而或24/24在的对称区中的解设是代
8、入边界条件,得因而或(2>6ewMyirQFL和情形相同,C=A,偶宇称解是(3>奇宇称解是(4>在区间内的解满足薛定谔方程但,令,知道这方程式的解可用实指数函数或双曲函数,计算法相类似.为计算方便直接设定区间偶宇称解(5>奇宇称解(6>24/24这两者都满足此区间的薛氏方程式.为确定能量量子化条件,可以建立在边界点处,波函数及其一阶导数的连续条件.使用(3>和(5>有:kavU42VRUs即：<7）即：<8）<7）和<8）相除得：将此式改用能量E的项来表示,得到偶宇称态的能量量子
