无穷等比数列的各项和(1)

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1、无穷等比数列的各项和（1）教学目标1．理解无穷等比数列的各项和的定义；2．掌握无穷等比数列的各项和的公式，会应用公式求无穷等比数列的各项和；3．理解无限个数的和与有限个数的和在意义上的区别；4．通过在利用无穷等比数列的各项和的公式解决一些简单的实际问题过程中，形成和提高数学的应用意识.教学重点及难点教学重点：无穷等比数列的各项和的公式的推导及其应用.教学难点：正确理解无穷等比数列的各项和的定义.教学过程（一）、引入提问：和1哪个数大？可能你会认为,事实上，换一个角度来看：现在就是求的各项和分析:求数列各项的和,就是求数列全部的和,无穷数列无穷项怎么相加,这需要新的思维,根据和的

2、基本含义,要把它们加起来，它的基础是前项和，当越来越大时，就会无限趋近这个各项和的，所以这个应该是的极限。于是可以把数列各项和看作前项和当时的极限。是首项为，公比为的无穷等比数列，它的前n项和为.从而.（二）、讲授新课1、无穷等比数列的各项和的公式的推导提问：在问题1的讨论中，我们将看成首项为、公比为的无穷等比数列的前n项和的极限.请同学们思考，是否无穷等比数列的前n项和的极限都存在？,当时,当时，无穷等比数列前项和的极限如下：∴.∵，∴.∴．当时,不存在,不存在.强调：只有当无穷等比数列的公比满足时，其前n项和的极限才存在．让学生尝试从上述推导过程中归纳出无穷等比数列的各项和

3、的公式．2、无穷等比数列的各项和的定义提问：通过刚才的讨论，你能否给无穷等比数列各项和下一个定义？请用数学语言来描述一下．我们把的无穷等比数列的前项的和当时的极限叫做无穷等比数列的各项和，并用符号表示.（）.强调：只有当无穷等比数列的公比满足时，其前n项和的极限才存在．3、无穷等比数列各项和的应用例1、（1）求无穷等比数列各项的和。（2）已知无穷等比数列，求数列各项的和。数列是以为首项，为公比的无穷等比数列。小结：应用无穷等比数列求和公式，看清首项和公比。例2、化下列循环小数为分数：（1）；（2）.分析：设法将循环小数化成等比数列的前n项和，然后求极限.解：（1）等式右边是首项

4、为，公比是的无穷等比数列的各项的和，所以.（2），等式右边是加上一个首项为，公比是的无穷等比数列的各项的和，所以.练习：1）；（2）；小结：关键将循环小数化成等比数列的前n项和，然后求极限.例3、无穷等比数列，其各项和为1，（1）求的取值范围。（2）求的取值范围。（1）、，又，；（2）、，则，又小结：强调例4、如图，正方形ABCD的边长为1，联结这个正方形各边的中点得到一个小正方形A1B1C1D1；又联结这个小正方形各边的中点得到一个更小正方形A2B2C2D2；如此无限继续下去.第1个正方形的边长为，第2个正方形的边长为，…第n个正方形的边长为（1）求证为等比数列；（2）求所有

5、这些正方形周长的和与面积的和．分析：关键是求出第n个正方形的边长与前一个正方形的边长的关系.解：（1）、由题意得第1个正方形的边长，第n个正方形的边长，.为等比数列，即所有正方形的边长组成的数列为，（2）、所有正方形的周长组成的数列为，这是首项为4、公比为的无穷等比数列，故所有的正方形的周长之和为.所有正方形的面积组成的数列为，这是首项为、公项为的无穷等比数列，故所有的正方形的面积之和为.小结：无穷等比数列各项和在图形中的应用，关键是找到第n个图和第n-1个图中面积、边长（或其他量）之间的关系。4、课堂小结：