现代控制理论第5章

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1、《现代控制理论基础》第五章(讲义)第五章Lyapunov稳定性分析和二次型最优控制5.1概述本章首先讨论Lyapunov稳定性分析，然后介绍线性二次型最优控制问题。我们将使用Lyapunov稳定性方法作为线性二次型最优控制系统设计的基础。应用于线性定常系统的稳定性分析方法很多。然而，对于非线性系统和线性时变系统，这些稳定性分析方法实现起来可能非常困难，甚至是不可能的。Lyapunov稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方法。虽然在非线性系统的稳定性问题中，Lyapunov稳定性分析方法具有基础性的地位，但在具体确定许多非线性系统的稳定性时，却并不是直截了当的。技巧和经验在解

2、决非线性问题时显得非常重要。在本章中，对于实际非线性系统的稳定性分析仅限于几种简单的情况。本章5.1节为概述。5.2节介绍Lyapunov意义下的稳定性定义。5.3节给出Lyapunov稳定性定理，并将其应用于非线性系统的稳定性分析。5.4节讨论线性定常系统的Lyapunov稳定性分析。5.5节给出模型参考控制系统，首先用公式表示Lyapunov稳定性条件，然后在这些条件的限制下设计系统。5.6节讨论线性二次型最优控制系统，将采用Lyapunov稳定性方程导出线性二次型最优控制的条件。5.7节给出线性二次型最优控制问题的MATLAB解法。5.2Lyapunov意义下的稳定性问题对

3、于一个给定的控制系统，稳定性分析通常是最重要的。如果系统是线性定常的，那么有许多稳定性判据，如Routh-Hurwitz稳定性判据和Nyquist稳定性判据等可资利用。然而，如果系统是非线性的，或是线性时变的，则上述稳定性判据就将不再适用。本节所要介绍的Lyapunov第二法（也称Lyapunov直接法）是确定非线性系统和线性时变系统的最一般的方法。当然，这种方法也可适用于线性定常系统的稳定性分析。此外，它还可应用于线性二次型最优控制问题。27《现代控制理论基础》第五章(讲义)5.2.1平衡状态、给定运动与扰动方程之原点考虑如下非线性系统(5.1)式中x为n维状态向量，是变量x1

4、,x2,…,xn和t的n维向量函数。假设在给定的初始条件下，式(5.1）有唯一解。当t=to时，。于是在式(5.1）的系统中，总存在,对所有t(5.2)则称为系统的平衡状态或平衡点。如果系统是线性定常的，也就是说，则当A为非奇异矩阵时，系统存在一个唯一的平衡状态；当A为奇异矩阵时，系统将存在无穷多个平衡状态。对于非线性系统，可有一个或多个平衡状态，这些状态对应于系统的常值解（对所有t，总存在）。平衡状态的确定不包括式(5.1）的系统微分方程的解，只涉及式(5.2）的解。任意一个孤立的平衡状态（即彼此孤立的平衡状态）或给定运动都可通过坐标变换，统一化为扰动方程之坐标原点，即或。在本

5、章中，除非特别申明，我们将仅讨论扰动方程关于原点()处之平衡状态的稳定性问题。这种“原点稳定性问题”由于使问题得到极大简化，而不会丧失一般性，从而为稳定性理论的建立奠定了坚实的基础，这是Lyapunov的一个重要贡献。5.2.2Lyapunov意义下的稳定性定义下面首先给出Lyapunov意义下的稳定性定义，然后回顾某些必要的数学基础，以便在下一小节具体给出Lyapunov稳定性定理。定义5.1(Lyapunov意义下的稳定)设系统，之平衡状态的H邻域为其中，，为向量的2范数或欧几里德范数，即类似地，也可以相应定义球域S(e）和S(d）。在H邻域内，若对于任意给定的，均有(1)如

6、果对应于每一个S(e），存在一个S(d），使得当t趋于无穷时，始于S(d)的轨迹不脱离S(e），则式(5.1）系统之平衡状态称为在Lyapunov27《现代控制理论基础》第五章(讲义)意义下是稳定的。一般地，实数d与e有关，通常也与t0有关。如果d与t0无关，则此时平衡状态称为一致稳定的平衡状态。以上定义意味着：首先选择一个域S(e），对应于每一个S(e），必存在一个域S(d），使得当t趋于无穷时，始于S(d）的轨迹总不脱离域S(e）。(2)如果平衡状态，在Lyapunov意义下是稳定的，并且始于域S(d）的任一条轨迹，当时间t趋于无穷时，都不脱离S(e），且收敛于，则称式(5.

7、1）系统之平衡状态为渐近稳定的，其中球域S(d）被称为平衡状态的吸引域。实际上，渐近稳定性比纯稳定性更重要。考虑到非线性系统的渐近稳定性是一个局部概念，所以简单地确定渐近稳定性并不意味着系统能正常工作。通常有必要确定渐近稳定性的最大范围或吸引域。它是发生渐近稳定轨迹的那部分状态空间。换句话说，发生于吸引域内的每一个轨迹都是渐近稳定的。(3)对所有的状态（状态空间中的所有点），如果由这些状态出发的轨迹都保持渐近稳定性，则平衡状态称为大范围渐近稳定。或者说，如果式(5.1）系统之平衡