第五章 方阵的特征值和特征向量

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1、2009智轩考研数学创高分红宝书系列---线性代数第五章方阵的特征值和特征向量2008年考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似变换、相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵2008年考试要求1.理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量。2.理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法。3.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质。陈氏第27技两特两化与相似正交是方阵的核心。求两特（特征值和特征向量）或两特两化（特征值和特征向量及正

2、交化和单位化）时，由于计算量较大，务必请读者步步为营验算。一、三基与拓展1．特征值（针对方阵）1.1定义：1.2基本性质与结论：●特征矩阵：●特征多项式：●特征方程：●,若，则，●●如的特征值为的特征值为●设为分块矩阵，即，则的所有特征根就是的特征根。1522009智轩考研数学创高分红宝书系列---线性代数●是的特征值2．特征向量2.1性质：首先它要求是一个非零的列向量，其次它是和某个特征值对应的，不能孤立存在，但反过来，一个重根特征值却可以对应多个线性无关的特征向量，但重根特征值对应线性无关的特征向量的个数不一定与重根特征值的重数相等，但对实对称矩阵一定相等，所以，实对称

3、矩阵有多少个特征值（包括重根的重数）就一定有多少个线性无关的特征向量。全部特征向量构成的一个基础解，解空间维度，不同特征值对应的特征向量必线性无关，同一特征值（重根）对应的特征向量不一定线性无关。2.2基本结论●对同一是的特征向量，则也是特征向量，对于不同的则不是特征向量（参阅【例4】）。●有相同的，但特征向量不一定相同。●。●可对角化特征向量的个数（重根需重复计算）【例1】求的特征值和特征向量解：矩阵的特征方程为，是的三重特征根。此时求特征向量的齐次方程组为1522009智轩考研数学创高分红宝书系列---线性代数任意三个线性无关的向量都是它的基础解系，一般取特征向量评注这

4、就是为什么在求形如基础解系时，用的列向量依次填补后面坐标分量的原因。【例2】设阶矩阵的元素全为1，求的特征值。解：【例3】求的的特征值和特征向量。解：矩阵的特征方程为，是的二重特征根。此时求特征向量的齐次方程组为只有一个特征向量，可见二重特征根不一定存在2个特征向量。1522009智轩考研数学创高分红宝书系列---线性代数是的单特征根。此时求特征向量的齐次方程组为【例4】设方阵有两个特征值，对应的特征向量分别为，证明：不是的特征向量。证明：采用反证法。设是对应特征值为的特征向量，则与条件矛盾，故原命题成立。【例5】设方阵有两个特征值，对应的特征向量分别为，证明：线性无关的充

5、要条件是。证明：利用分块矩阵的初等变换，否则0与任何向量组线性相关。3．相似矩阵及性质3.1定义（充要条件），它是的一种等价形式。3.2性质●●●●●具有5个相同，即1522009智轩考研数学创高分红宝书系列---线性代数①相同的行列式；反之不成立。②相同的特征多项式；证明如下，反之不成立。③相同的特征值；反之不成立。例如如果是实对称矩阵则逆命题成立。④相同的秩；反之不成立。⑤相同的迹；反之不成立。其中，5个都是必要条件，而非充分条件，只能用来否定两个矩阵相似，而不能用来肯定两矩阵相似。要判断两个矩阵是否相似，先看他们是否与必要条件矛盾，如是则一票否决如不是，主要看它是否满

6、秩，因为矩阵对角化一般值需要个线性无关的一般向量，对角化特征值则需要个线性无关的特征向量。评注如为三阶方阵，求。解：【例6】设，则与相似的矩阵是（）1522009智轩考研数学创高分红宝书系列---线性代数解：选。分析如下：4个矩阵的特征值都是1，1，3，下面主要看是否具有满秩，也就是是否具有3个线性无关的特征向量，由于不同的特征值对应的特征向量必线性无关，因此，只要检验属于重特征值1的线性无关向量是否有两个。故只有正确。【例7】设，相似，其中，求和的值。解：由由于取任意值上式成立，不妨令1522009智轩考研数学创高分红宝书系列---线性代数4、一般方阵可相似对角化的充要条

7、件4.1对角化矩阵的概念任何方阵，如能经过等价变换（也是一种初等变换）化为形如的矩阵，称为为可对角化矩阵。称为的相似标准形，它是唯一的。方阵的对角化一般采用相似矩阵进行等价变换（相似变换）来达到目的，即，称为矩阵的相似对角化。4.2矩阵可相似对角化的充要条件有下列四个等价命题①阶方阵；②阶方阵有个线性无关的特征向量；③阶方阵存在个不等的特征值（即特征值只有单根，且可以为0）；④对于每个重特征值根，的解空间的秩。评注阶方阵有个线性无关的特征向量才可对角化的证明过程如下：（存在要求线性无关）令（注意为特征向量组）则，由