方阵的特征值和特征向量

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1、§2方阵的特征值与特征向量引言纯量阵lE与任何同阶矩阵的乘法都满足交换律，即(lEn)An=An(lEn)=lAn．矩阵乘法一般不满足交换律，即AB≠BA．数乘矩阵时，数l都是可交换的，即l(AB)=(lA)B=A(lB)．Ax=lx?例：定义：设A是n阶矩阵，如果数l和n维非零向量x满足Ax=lx，那么这样的数l称为矩阵A的特征值，非零向量x称为A对应于特征值l的特征向量．例1：则l=4为的特征值，为对应于l=4的特征向量.一、基本概念一、基本概念定义：设A是n阶矩阵，如果数l和n维非零向量x满足Ax=lx，那么这样的数l称为矩阵A的特征值，非零向量x称为A对应于

2、特征值l的特征向量．Ax=lx=lEx<=>Ax-lEx=0非零向量x满足(A−lE)x=0（零向量）齐次线性方程组有非零解系数行列式

3、A−lE

4、=0特征方程特征多项式特征方程

5、A−lE

6、=0特征多项式

7、A−lE

8、二、基本性质在复数范围内n阶矩阵A有n个特征值（重根按重数计算）．设n阶矩阵A的特征值为l1,l2,…,ln，则l1+l2+…+ln=a11+a22+…+ann（称为矩阵A的迹,TrA）l1l2…ln=

9、A

10、当时,A的特征值全为非零数;结论：当时,A至少有一个特征值等于零.因而,A的特征多项式中,n与n-1的系数由该项中,有一项是主对角线上n个元素的乘

11、积(-a11)(-a22)(-ann)而其他各项至多含有主对角线上的n-2个元素.证明：确定.不难看出,n的系数为1,n-1的系数为另外,在特征多项式中故令=0可得其常数项为

12、E-A

13、=n-(a11+a22+…+ann)n-1+…+(-1)n

14、A

15、.另一方面，由于1,2,…,n是A的n个特征值,所以

16、E-A

17、=(-1)(-2)…(-n).由此推出其常数项为

18、0E-A

19、=12…n=

20、A

21、.[证毕]定义：称为矩阵A的迹,记作trA.比较上述两式，对应项的系数相同，可得1+2+…+n=a11+a22+…+ann;

22、E-

23、A

24、=n-(a11+a22+…+ann)n-1+…+(-1)n

25、A

26、.

27、E-A

28、=(-1)(-2)…(-n).推论：方阵A可逆A的特征值都不是零例2：求矩阵的特征值和特征向量．解：A的特征多项式为所以A的特征值为l1=2，l2=4．当l1=2时，对应的特征向量应满足方程组即解得基础解系,kp1（k≠0）就是对应的特征向量．例2：求矩阵的特征值和特征向量．解（续）：A的特征多项式为所以A的特征值为l1=2，l2=4．当l2=4时，对应的特征向量应满足方程组解得基础解系kp2（k≠0）就是对应的特征向量．例3：求矩阵的特征值和特征向量．解：所以A的特征

29、值为l1=−1，l2=l3=2．例3：求矩阵的特征值和特征向量．解（续）：当l1=−1时，因为解方程组(A+E)x=0．解得基础解系；kp1（k≠0）就是对应的特征向量．例3：求矩阵的特征值和特征向量．解（续）：当l2=l3=2时，因为解方程组(A−2E)x=0．解得基础解系．k2p2+k3p3（k2,k3不同时为零）就是对应的特征向量．证明：由于是齐次线性方程组是A的属于的特征向量.定理:若和都是A的属于特征值的特征向量,则也是A的属于的特征向量(其中是任意常数,但)因此也是方程组的解。故当时,的解.因此也是方程组的解。二、基本性质（续）在复数范围内n阶矩阵A有n

30、个特征值（重根按重数计算）．设n阶矩阵A的特征值为l1,l2,…,ln，则l1+l2+…+ln=a11+a22+…+annl1l2…ln=

31、A

32、若l是A的一个特征值，则齐次线性方程组(A−lE)x=0的基础解系就是对应于特征值为l的全体特征向量的最大无关组．例4（书上例8）：设l是方阵A的特征值，证明(1)l2是A2的特征值；(2)当A可逆时，1/l是A−1的特征值．证明：结论：若非零向量p是A对应于特征值l的特征向量，则l2是A2的特征值，对应的特征向量也是p．推广：lk是Ak的特征值，对应的特征向量也是p．当A可逆时，1/l是A−1的特征值，对应的特征向量仍然是

33、p．二、基本性质（续）在复数范围内n阶矩阵A有n个特征值（重根按重数计算）．设n阶矩阵A的特征值为l1,l2,…,ln，则l1+l2+…+ln=a11+a22+…+annl1l2…ln=

34、A

35、若l是A的一个特征值，则齐次线性方程组(A−lE)x=0的基础解系就是对应于特征值为l的全体特征向量的最大无关组．若l是A的一个特征值，则j(l)=a0+a1l+…+amlm是矩阵多项式j(A)=a0+a1A+…+amAm的特征值．若l是A的一个特征值，则j(l)=a0+a1l+…+amlm是矩阵多项式j(A)=a0+a1A+…+amAm的特征值．例5设A为可逆矩阵,为A