09高考数列压轴题选讲

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1、09高考数列压轴题选讲曾宪强1、已知函数的图象经过点和，记（1）求数列的通项公式；（2）设，若，求的最小值；（3）求使不等式对一切均成立的最大实数.解：（1）由题意得，解得，（2）由（1）得，①②①-②得.，设，则由得随的增大而减小时，又恒成立，（3）由题意得恒成立记，则15是随的增大而增大的最小值为，，即.2、设数列的前项和为，对一切，点都在函数的图象上．（Ⅰ）求的值，猜想的表达式，并用数学归纳法证明；（Ⅱ）将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（），（，），（，，），（，，，）；（），（，），(，，），（，，，）；（），…，分别计算各个括号内各数之和，

2、设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为，求的值；（Ⅲ）设为数列的前项积，是否存在实数，使得不等式对一切都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）因为点在函数的图象上，故，所以．令，得，所以；令，得，所以；令，得，所以．由此猜想：．15用数学归纳法证明如下：①当时，有上面的求解知，猜想成立．②假设时猜想成立，即成立，则当时，注意到，故，．两式相减，得，所以．由归纳假设得，，故．这说明时，猜想也成立．由①②知，对一切，成立．（Ⅱ）因为（），所以数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，1

3、8，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），….每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20.同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20.故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80.注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，所以．又=22，所以=2010.（Ⅲ）因为，故，所以．又，故对一切都成立，就是对一切都成立．15

4、设，则只需即可．由于，所以，故是单调递减，于是．令，即，解得，或．综上所述，使得所给不等式对一切都成立的实数存在，的取值范围是．3、已知点列满足：，其中，又已知，.(1)若，求的表达式；(2)已知点B，记，且成立，试求a的取值范围；(3)设（2）中的数列的前n项和为，试求：。解：（1）∵，，∴，∴，∴，∴.（2）∵，∴.∵15∴要使成立，只要，即∴为所求.（3）∵，∴∴∵，∴，∴∴4、已知在上有定义，且满足时有若数列满足。（1）求的值，并证明在上为奇函数；（2）探索的关系式，并求的表达式；（3）是否存在自然数m，使得对于任意的，有恒成立？若存在，求出m的最小值，

5、若不存在，请说明理由。155、数列满足．（Ⅰ）求数列{}的通项公式；（Ⅱ）设数列{}的前项和为，证明．解：(Ⅰ)方法一：，所以．所以是首项为，公差为的等差数列．所以，所以．方法二：，，，猜测．下用数学归纳法进行证明．①当时，由题目已知可知，命题成立；②假设当()时成立，即，那么当，，也就是说，当时命题也成立．15综上所述，数列的通项公式为．（Ⅱ）　设则函数为上的减函数，所以，即从而6、已知二次函数同时满足：①不等式≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在，使得不等式成立，设数列｛｝的前项和．（1）求函数的表达式；(2)设各项均不为0的数列｛｝中，所有满足的整

6、数的个数称为这个数列｛｝的变号数，令（）,求数列｛｝的变号数；　（3）设数列｛｝满足：，试探究数列｛｝是否存在最小项？若存在，求出该项，若不存在，说明理由．解（１）∵不等式≤0的解集有且只有一个元素∴　解得或当时函数在递增，不满足条件②当时函数在（０，２）上递减，满足条件②15综上得，即.（２）由（１）知当时，当≥２时＝＝∴由题设可得∵，，∴，都满足∵当≥３时，即当≥３时，数列｛｝递增，∵，由，可知满足∴数列｛｝的变号数为３.（３）∵＝,　由（２）可得：＝＝∵当时数列｛｝递增，∴当时，最小,又∵，∴数列｛｝存在最小项〔或∵＝,由（２）可得：＝15对于函数　∵∴函

7、数在上为增函数，∴当时数列｛｝递增，∴当时，最小，又∵，　∴数列｛｝存在最小项7、已知数列的前n项和满足：（a为常数，且）．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，若数列为等比数列，求a的值；（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，设，数列的前n项和为Tn.求证：．解：（Ⅰ）∴当时，，即是等比数列．∴；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，若为等比数列，则有而故，解得，再将代入得成立，所以．（III）证明：由（Ⅱ）知，所以15，由得所以，从而．即．8、已知数列的前n项和为，点在曲线上且.（1）求数列的通项公式；（2）数列的前n项和为且满足，设定的值使得数列是等差数列；（3）求证：.解：(1)∴∴∴

8、数列是等差数列，首项公差