高考压轴题之数列

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1、word格式文档数列及其通项例1设是首项为1的正项数列,且(=1,2,3,…),则它的通项公式是=.分析本题由递推式求通项公式,考虑到填空题特点:即只要结果不要过程,故采用不完全归纳法(由特殊到一般).也可化简递推式,从而求得通项公式.解法一:由条件,可得,,,(负值舍去)由此可猜想.解法二:由,可得因为,所以故只有,即所以…=链接①形如的递归式,其通项公式求法为:②形如的递归式,其通项公式求法为:例2.已知an=(n∈N*),则在数列{an}的前20项中,最大项和最小项分别是()A.a9,a8.B.a10,a9.C.a8,a9.A.a9,a10.分析因为an=1+所以a1,

2、a2,…,a9组成递减数列,a1最大,a10最小;a10,a11,…,a20组成递减数列,a10,最大,a20,最小,计算a1<a10,a9<a20.所以在数列{an}前20项中,最大项为a10,最小项为a9,故选B.说明要确定数列{an}的最大项和最小项,一种思路是先判断数列的单调性,另一种思路是画图观察.等差数列与等比数列例1.设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn.(Ⅰ)若首项,公差,求满足的正整数k;(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{an},使得对于一切正整数都有成立.【答案】解:(I)当时,由,即。又。(II)设数列{an}的公差为d,则在中分别取=1,2,得专业资料整理

3、word格式文档。解得。若成立;若故所得数列不符合题意。若;若。综上,共有3个满足条件的无穷等差数列:①{an}:an=0,即0,0,0,…;②{an}:an=1,即1,1,1,…;③{an}:an=2n-1,即1,3,5,…。【考点】等差数列的通项公式,等差数列的性质。【分析】(I)利用等差数列的求和公式表示出前n项的和,代入到求得。(Ⅱ)设数列{an}的公差为d,在Sn2=(Sn)2中分别取=1,2求得,代入到前n项的和中分别求得d,进而对和d进行验证,最后综合求得答案。例2ΔOBC的在个顶点坐标分别为(0,0)、(1,0)、(0,2),设P1为线段BC的中点,P2为线段

4、CO的中点,P3为线段OP1的中点,对于每一个正整数n,Pn+3为线段PnPn+1的中点,令Pn的坐标为(xn,yn),(Ⅰ)求及;(Ⅱ)证明(Ⅲ)若记证明是等比数列.分析本题主要考查数列的递推关系、等比数列等基础知识,考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的创新能力.利用图形及递推关系即可解决此类问题.解(Ⅰ)因为,专业资料整理word格式文档所以,又由题意可知∴==∴为常数列.∴(Ⅱ)将等式两边除以2,得又∵,∴(Ⅲ)∵==又∵∴是公比为的等比数列.说明本题符号较多,有点列{Pn},同时还有三个数列{an},{yn},{bn},再加之该题是压轴题,因而考生会惧怕,而如果没

5、有良好的心理素质,或足够的信心,就很难破题深入.即使有的考生写了一些解题过程,但往往有两方面的问题:一个是漫无目的,乱写乱画;另一个是字符欠当,丢三落四.最终因心理素质的欠缺而无法拿到全分.例3.设数列的前项和为,已知,且,其中A.B为常数⑴求A与B的值;(2分)⑵证明:数列为等差数列;(6分)⑶证明:不等式对任何正整数都成立(6分)【答案】解:(1)由已知,得,,,由,知,即,解得。(2)由(1)得①∴②专业资料整理word格式文档②-①得,③∴④④-③得。∵,∴。∵,∴。∴,。又∵,∴数列为等差数列。(3)由(2)可知,,要证,只要证。因为,,故只要证,即只要证。因为,由

6、于以上过程是可逆的,所以命题得证。【考点】数列的应用。【分析】(1)由题意知,从而解得A=-20,B=-8。(2)由(Ⅰ)得,所以在式中令,可得.由此入手能够推出数列{an}为等差数列。(3)由(2)可知,,然后用分析法可以使命题得证。例4.已知是等差数列,是公比为的等比数列,,记为数列的前项和,(1)若是大于的正整数,求证:;(4分)(2)若是某一正整数,求证:是整数,且数列中每一项都是数列中的项;(8分)专业资料整理word格式文档(3)是否存在这样的正数,使等比数列中有三项成等差数列?若存在,写出一个的值,并加以说明;若不存在,请说明理由;(4分)【答案】解:设的公差为

7、,由,知,()(1)证:∵,∴,。∴。(2)证:∵,且,∴解得,或,但,∴。∵是正整数,∴是整数,即是整数。设数列中任意一项为,设数列中的某一项=,现在只要证明存在正整数,使得,即在方程中有正整数解即可。∵,∴。若,则,那么。当时,∵,只要考虑的情况,∵,∴,∴是正整数。∴是正整数。∴数列中任意一项为与数列的第项相等,从而结论成立。(3)设数列中有三项成等差数列,则有2。专业资料整理word格式文档设,则2。令,则。∵,∴,解得。即存在使得中有三项成等差数列。【考点】数列的求和,等差数列的性质,等比数列

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