塑性变形力学计算

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1、杆件的塑性变形15.1概述工程问题中绝大部分构件必须在弹性范围内工作，不允许出现塑性变形。但有些问题确须考虑塑性变形。15.2金属材料的塑性性质图15.1是低碳钢拉伸的应力-应变曲线。过屈服极限后，应力和应变的关系是非线性的有（15.1）图15.1低碳钢拉伸的应力-应变曲线图15.2弹塑性应力-应变弹性范围内，应力和应变之间是单值对应的。塑性阶段却并非如此，应力和应变不再是单值对应的关系（如图15.2）。下面是几种常见的塑性材料模型。图15.3理想弹塑性材料模型图15.4刚塑性材料模型图15.6刚塑性线性强化材

2、料模型图15.5线性强化材料模型图15.7幂强化材料模型有时也把应力-应变关系近似地表为幂函数，幂强化材料的应力-应变关系曲线如图15.7所示。15.3拉伸和压缩杆系的塑性分析现以图15.8所示两端固定的杆件为例来说明静不定拉压杆系的塑性分析，当载荷逐渐增加时，杆件两端的反力是图15.8两端固支杆(a)力作用点的位移是(b)如则。随着的增加，段的应力将首先达到屈服极限。若相应的载荷为，载荷作用点的位移为，由（）、（）两式求得由平衡方程可知(c)载荷作用点的位移为(d)段也进入塑性阶段时，，由（）式求出相应的载荷

3、为图15.9三杆桁架载荷达到后，整个杆件都已进入塑性变形。例18.1在图15.9所示静不定结构中，设三杆的材料相同，横截面面积同为。试求使结构开始出现塑性变形的载荷、极限载荷。解：以和分别表和杆的轴力，表杆的轴力。令，，得(e)当载荷逐渐增加时，杆的应力首先达到，这时的载荷即为。由（）式的第二式得由此解出载荷继续增加，中间杆的轴力保持为,两侧杆件仍然是弹性的。直至两侧的杆件的轴力也达到，相应的载荷即为极限载荷。这时由节点的平衡方程知加载过程中，载荷与点位移的关系已表示于图15.9中。15.4圆轴的塑性扭转圆轴受

4、扭时，横截面上的剪应力沿半径按线性规律分布，即(a)图15.10圆轴受扭转随着扭矩的逐渐增加，截面边缘处的最大剪应力首先达到剪切屈服极限（图15.10）。若相应的扭矩为，由（）式知(b)极限扭矩，其值为取代入上式后完成积分，得(15.4)达到极限扭矩后，轴已经丧失承载能力。例18.2设材料受扭时剪应力和剪应变的关系如图15.11所示，并可近似地表为式中m和皆为常量。试导出实心圆轴扭转时应力和变形的计算公式。图15.11剪应力和剪应变的关系解：根据圆轴扭转的平面假设，可以直接引用3.4中的（）式，求得横截面上任意

5、点处的剪应变为(d)式中是扭转角沿轴线的变化率，为横截面上一点到圆心的距离，即为该点剪应变。（）式表明，沿横截面半径，各点的剪应变是按直线规律变化的（图15.11）。由（）、（）两式求出(e)或者写成(f)横截面上的扭矩应为取,并以(f)式代入上式，(g)从（）和（）两式中消去，得剪应力的计算公式(h)令，得最大剪应力为当时，材料变为线弹性的，上式变为由（）式知故有积分求得相距为的两个横截面的相对扭转为(i)当，时，上式化为这就是公式（3.17）。15.5塑性弯曲和塑性铰15．5．1纯弯曲根据平面假设，横截面上

6、距中性轴为y的点的应变为(a)式中是曲线的曲率。静力方程：(b)(c)在线弹性阶段，有(d)若以表示开始出现塑性变形时的弯距，由（）式知(e)载荷逐渐增加，横截面上塑性区逐渐扩大，且塑性区内的应力保持为（图15.12）。最后，横截面上只剩下邻近中性轴的很小区域内材料是弹性的。此时，无论在拉应力区或压应力区，都有如以和分别表示中性轴两侧拉应力区和压应力区的面积，则静力方程（）化为若整个横截面面积为，则应有故有(15.5)图15.12纯弯曲极限情况下的弯矩即为极限弯矩，由静力方程（）得图15.14矩形截面梁的横力弯

7、曲和塑性铰式中和分别是和的形心到中性轴的距离。利用公式（18.5）又可把上式写成(15.6)【例15.3】在纯弯曲情况下，计算矩形截面梁和圆截面梁开始出现塑性变形时的弯矩和极限弯距。解：对矩形截面梁（图15.13），由（）式得开始出现塑性变形的弯矩为由公式（15.13）求得极限弯矩为图15.13矩形截面和圆截面和之比为所以从出现塑性变形到极限情况，弯矩增加了50%。对圆截面梁,从开始塑性变形到极限情况，弯矩增加70%。15.5.2横力弯曲横力弯曲情况下，弯矩沿梁轴线变化，横截面上除弯矩外还有剪力。图15.14中

8、阴影线的部分，为梁内形成的塑性区。把坐标原点放在跨度中点，并将坐标为的横截面上的应力分布情况放大成图15.14。在这一截面的塑性区内，；弹性区内，。为塑性区和弹性区的分界线到中性轴的距离。故截面上的弯矩应为(15.7)还可由载荷及反力算出这一横截面上的弯矩为令以上两式相等，得(f)这就是梁内塑性区边界的方程。设开始出现塑性变形的截面的坐标为，在（）式中，令，，得由此求得塑性区的长度为式