2018版高中数学人教b版选修2-2学案:3.1.1 实数系-3.1.2 复数的概念

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1、2017-2018学年人教B版高中数学学案3.1.1 实数系3.1.2 复数的概念明目标、知重点 1.了解引入虚数单位i的必要性,了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法,理解复数相等的充要条件.1.复数的有关概念(1)复数①定义:设a,b都是实数,形如a+bi的数叫做复数,i叫做虚数单位.a叫做复数的实部,b叫做复数的虚部.②表示方法:复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R).(2)复数集①定义:全体复数所构成的集

2、合叫做复数集.②表示:通常用大写字母C表示.2.复数的分类及包含关系(1)复数(a+bi,a,b∈R)(2)集合表示:3.复数相等的充要条件52017-2018学年人教B版高中数学学案设a,b,c,d都是实数,那么a+bi=c+di⇔a=c且b=d.[情境导学]为解决方程x2=2,数系从有理数扩充到实数.数的概念扩充到实数集后,人们发现在实数范围内很多问题还不能解决,如从解方程的角度看,x2=-1这个方程在实数范围内就无解,那么怎样解决方程x2=-1在实数系中无根的问题呢?我们能否将实数集进行扩充

3、,使得在新的数集中,该问题能得到圆满解决呢?本节我们就来研究这个问题.探究点一 复数的概念思考1 为解决方程x2=2,数系从有理数扩充到实数;那么怎样解决方程x2+1=0在实数系中无根的问题呢?答 设想引入新数i,使i是方程x2+1=0的根,即i·i=-1,方程x2+1=0有解,同时得到一些新数.思考2 如何理解虚数单位i?答 (1)i2=-1.(2)i与实数之间可以运算,亦适合加、减、乘的运算律.(3)由于i2<0与实数集中a2≥0(a∈R)矛盾,所以实数集中很多结论在复数集中,不再成立.(4)

4、若i2=-1,那么i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i.思考3 什么叫复数?怎样表示一个复数?什么叫虚数?什么叫纯虚数?答 形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,复数通常用字母z表示,即z=a+bi,这一表示形式叫做复数的代数形式,其中a、b分别叫做复数z的实部与虚部.对于复数z=a+bi(a,b∈R),当b≠0时叫做虚数;当a=0且b≠0时,叫做纯虚数.例1 请说出下列复数的实部和虚部,并判断它们是实数、虚数还是纯虚数.①2+3i;②-3+i;③+i;④π;⑤-i;⑥

5、0.解 ①的实部为2,虚部为3,是虚数;②的实部为-3,虚部为,是虚数;③的实部为,虚部为1,是虚数;④的实部为π,虚部为0,是实数;⑤的实部为0,虚部为-,是纯虚数;⑥的实部为0,虚部为0,是实数.反思与感悟 复数a+bi中,实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意,b为复数的虚部而不是虚部的系数,b连同它的符号叫做复数的虚部.跟踪训练1 符合下列条件的复数一定存在吗?若存在,请举出例子;若不存在,请说明理由.52017-2018学年人教B版高中数学学案(1)实部为-的虚数;(2)虚部为-的

6、虚数;(3)虚部为-的纯虚数;(4)实部为-的纯虚数.解 (1)存在且有无数个,如-+i等;(2)存在且不唯一,如1-i等;(3)存在且唯一,即-i;(4)不存在,因为纯虚数的实部为0.例2 求当实数m为何值时,z=+(m2+5m+6)i分别是:(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.解 由已知得复数z的实部为,虚部为m2+5m+6.(1)复数z是实数的充要条件是⇔⇔m=-2.∴当m=-2时,复数z是实数.(2)复数z是虚数的充要条件是⇔m≠-3且m≠-2.∴当m≠-3且m≠-2时,复数z是虚数.(

7、3)复数z是纯虚数的充要条件是⇔⇔m=3.∴当m=3时,复数z是纯虚数.反思与感悟 利用复数的概念对复数分类时,主要依据实部、虚部满足的条件,可列方程或不等式求参数.跟踪训练2 实数m为何值时,复数z=+(m2+2m-3)i是(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.解 (1)要使z是实数,m需满足m2+2m-3=0,且有意义即m-1≠0,解得m=-3.(2)要使z是虚数,m需满足m2+2m-3≠0,且有意义即m-1≠0,解得m≠1且m≠-3.(3)要使z是纯虚数,m需满足=0,m-1≠0,且m2+2

8、m-3≠0,解得m=0或m=-2.探究点二 两个复数相等思考1 两个复数能否比较大小?52017-2018学年人教B版高中数学学案答 如果两个复数不全是实数,那么它们不能比较大小.思考2 两个复数相等的充要条件是什么?答 复数a+bi与c+di相等的充要条件是a=c且b=d(a,b,c,d∈R).例3 已知x,y均是实数,且满足(2x-1)+i=-y-(3-y)i,求x与y.解 由复数相等的充要条件得解得反思与感悟 两个复数相等,首先要分清两复数的实部与虚部,然后利用两个复数相等的

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