§ 3.3 函数的奇偶性

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1、3函数单调性1．函数单调性的定义，2．证明函数单调性；3．求函数的单调区间4．利用函数单调性解决一些问题；5．抽象函数与函数单调性结合运用典例分析：一函数单调性的证明:例1：证明函数在上是减函数二函数单调性的判断例2．画出下列函数图象并写出函数的单调区间（1）（2）　（3）（4）(5）（6）三函数单调性的应用例3：若函数在区间上单调递减，求a的取值范围.练习1:已知函数（a>0，a≠1)为R上的减函数，求实数a的取值范围.2:已知函数在区间上是增函数，试求的取值范围.例4：已知偶函数在内单调递减，若，，，则、、之间的大小关系是_____________练习1:

2、已知偶函数在内单调递减，若，则之间的大小关系是.2、已知函数是R上的偶函数，在上单调递减，那么.例5：设是定义在上的单调增函数，满足求：（1）f（1）；（2）当时x的取值范围.练习：15、设是定义在上的增函数，并且对任意的，总成立。（1）求证：时，；（2）如果，解不等式§3.3函数的奇偶性1．函数奇偶性的定义（1）奇函数:如果对于函数在定义域内的任意一个x，都有，那么这个函数叫奇函数；（2）偶函数:如果对于函数在定义域内的任意一个x，都有，那么这个函数叫偶函数；【说明】函数定义域是否关于原点对称，是判断一个函数奇偶性的前提条件，若函数定义域关于原点不对称，则函

3、数一定不是奇函数，也一定不是偶函数，（3）奇函数的图象关于坐标原点成中心对称图形；反之，一个函数的图象关于坐标原点成中心对称图形，那么函数一定是奇函数。（4）偶函数的图象关于轴成轴对称图形；反之，一个函数的图象关于轴成轴对称图形，那么函数一定是偶函数。例题精解一、函数奇偶性的判断与证明【例1】判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）；(3)（4）例2.判断下列函数的奇偶性：（1）（2）(3)【点评】判定函数奇偶性的步骤：(1)判定函数的定义域A。(2)判定A是否关于原点对称。(ⅰ)只要有一对相反数不同时属于定义域A，则A关于原点不对称。如(4)(ⅱ)若A关于原点不

4、对称，则函数一定为非奇非偶函数。如(4)(3)观察是否有或的成立(4)若，则函数为奇函数；若，则函数为偶函数。【例3】下列函数是奇函数的是（）A.B.C.D.【例4】(1)已知为偶函数，则函数为偶函数的充要条件是。(2)已知为奇函数，则=，=。【点评】熟悉常见函数的奇偶性对解题很大帮助，如（1）一次函数为奇函数的充要条件是（2）一元二次函数为偶函数充要条件是（3）反比例函数为奇函数.（4）指数函数,对数函数为非奇非偶函数；（5）正弦函数，正切函数，余切函数为奇函数，余弦函数为偶函数；（6）常值函数关于原点对称)若为偶函数，如；若，则函数为又奇又偶函数，即(7)

5、若函数表达式为的偶次方相加减，则函数为偶函数(其中常数可看作的零次方)，若函数表达式为的奇次方相加减，则函数为奇函数(其中可看作)，若函数表达式含有的偶次方与奇次方相加减，则函数为非奇非偶函数，二、函数奇偶性的应用【例4】(1)已知奇函数在单调区间上有最大值，则在上的最值是。(2)已知偶函数在单调区间上有最大值，则在上的最值是。【点评】(1)若为奇函数，则在两对称区间上单调性相反，(2)若为偶函数，则在两对称区间上单调性相同【例5】已知，且，求。三.函数奇偶性与单调性的综合３．（1）定义在上的奇函数为减函数，且，求实数的取值范围。(2)定义在上的偶函数，当时，

6、为减函数，若成立，求的取值范围。（3）已知偶函数在区间单调递增，则满足＜的x取值范围是（A）（，）(B)［，）(C)（，）(D)［，）同步训练一．选择题1．函数（）Ａ．是奇函数　　Ｂ．是偶函数Ｃ．非奇非偶函数Ｄ．又奇又偶函数2．函数且（）Ａ．是奇函数　　Ｂ．是偶函数Ｃ．非奇非偶函数Ｄ．又奇又偶函数3．在下列函数中，既是是奇函数，又是偶函数的是（）Ａ．Ｂ．C．Ｄ．4．已知函数在上是奇函数，且，则（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．5．函数是奇函数，且在上是增函数；函数是偶函数，且在上是减函数．那么当时，它们的增减性是()Ａ．是减函数，是增函数Ｂ．是增函数，是减函数Ｃ．是减函数，

7、是减函数Ｄ．是增函数，是增函数6．如果奇函数在区间上是增函数，且最小值为5，那么在区间上是（）Ａ．增函数且最小值为-5Ｂ．增函数且最大值为-5Ｃ．减函数且最小值为-5Ｄ．减函数且最大值为-57．设为定义在上的偶函数，且在上为增函数，则，，的大小顺序是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．8．函数(1)中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．9．函数在区间上是()Ａ．奇函数又是增函数Ｂ．偶函数又是增函数Ｃ．奇函数又是减函数Ｄ．偶函数又是减函数10．已知函数、都是奇函数，且在上有最大值8，则在上，在（）Ａ．最小值-8Ｂ．最大值-8Ｃ．最小值-6Ｄ．最小值-4二．填空1

8、．已知一次函数是奇函数，则的值是2．已