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《2002年全国高中数学联赛试题及参考答案》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1、函数f(x)=log1/2(x2-2x-3)的单调递增区间是( )。 (A)(-∞,-1) (B)(-∞,1) (C)(1,+∞) (D)(3,+∞) 2、若实数x,y满足(x+5)2+(y-12)2=142,则x2+y2的最小值为( )。 (A)2 (B)1 (C)√3 (D)√2 3、函数f(x)=x/1-2x-x/2( ) (A)是偶函数但不是奇函数 (B)是奇函数但不是偶函数 (C)
2、既是偶函数又是奇函数 (D)既不是偶函数也不是奇函数 4、直线x/4+y/3=1与椭圆x2/16+y2/9=1相交于A,B两点,该椭圆上点P,使得ΔPAB面积等于3,这样的点P共有( )。 (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 5、已知两个实数集合A={a1,a2,…,a100}与B={b1,b2,…,b50},若从A到B的映射f使得B中每个元素都有原象,且f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a100)则这样的映射共有( )。 (A)C50100
3、 (B)C4899 (C)C49100 (D)C4999 6、由曲线x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V1;满足x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4的点(x,y)组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2,则( )。 (A)V1=(1/2)V2(B)V1=(2/3)V2(C)V1=V2(D)V1=2V2二、填空题(本题满分54分,每小题9分) 7、已知复数Z1,Z2满足∣Z1∣=2,∣Z2∣
4、=3,若它们所对应向量的夹角为60°,则∣(Z1+Z2)/(Z1+Z2)∣= 。 8、将二项式(√x+1/(24√x))n的展开式按x的降幂排列,若前三项系数成等差数列,则该展开式中x的幂指数是整数的项共有 个。 9、如图,点P1,P2,…,P10分别是四面体顶点或棱的中点,那么在同一平面上的四点组(P1,Pi,Pj,Pk)(1<i<j<k≤10)有 个。 10、已知f(x)是定义在R上的函数,f(1)=1且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+
5、1。若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)= 。 11、若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1,则∣x∣-∣y∣的最小值是 。 12、使不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx对一切x∈R恒成立的负数a的取值范围是 。三、解答题(本题满分60分,每小题20分) 13、已知点A(0,2)和抛物线y2=x+4上两点B,C使得AB⊥BC,求点C的纵坐标的取值范围。 14、如图,有一列曲线P0,P1,P2……,已知P0所围成的图形是面积为1的等边三角形,Pk+1
6、是对Pk进行如下操作得到:将Pk的每条边三等分,以每边中间部分的线段为边,向外作等边三角形,再将中间部分的线段去掉(k=0,1,2,)。记Sn为曲线Pn所围成图形的面积。 (1)求数列{Sn}的通项公式; (2)求limSn. n→∞ 15、设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0)满足条件: (1)当x∈R时,f(x-4)=f(2-x),且f(x)≥x; (2)当x∈(0,2)时,f(x)≤((x+1)/2)2; (3)f(x)在R上的最小值为0. 求最大的
7、m(m>1),使得存在t∈R,只要x∈[1,m],就有f(x+t)≤x。参考答案一、选择题 1、由x2-2x-3>0有x<-1或x>3,故函数log1/2(x2-2x-3)的定义域为x<-1或x>3。二次函数u=x2-2x-3在(-∞,-1)内单调递减,在(3,+∞)内单调递增。而log1/2u在(0,+∞)上单调递减,所以log1/2(x2-2x-3)在(-∞,-1)单调递增,故选A。 2、(x+5)2+(y-12)2=142是以点C(-5,12)为圆心,半径为14的圆。设P为圆上任一点,则∣OP
8、∣≥∣CP∣-∣OC∣=14-13=1 当点C、O、P共线时,等号成立,所以P到点O的最小值为1,故选B。 3、函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),当x≠0时,因为f(-x)=(-x)/(1-2-x)-(-x)/2=(-x2x)/(2x-1)+(x/2)=(x+x(2x-1))/(1-2x)+(x/2)=(x/(1-2x))-x+(x/2)=(x/(1-2x))-(x/2)=f(x),所以f(x)为偶函数,显然f(x)不是