全国高中数学联赛集训试题(1)及参考答案[试题]

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1、全国高中数学联赛集训试题(1)及参考答案一.选择题(本题满分36分，每小题6分))o函数f(x)=logI/2(x2.2x-3)的单调递增区间是((A)(—8,—1)(B)(-ooJ)(0(1,+oo)(D)(3,+x)2、若实数x,y满足(x+5)2+(y-12)2=142,则x2+y2的最小值为()o(A)2(B)1(C)也(D)723、函数f(x)=x/l-2x-x/2((A)是俶函数但不是奇函数(B)是奇函数但不是偶函数(C)既是偶函数乂是奇函数(D)既不是偶函数也不是奇函数4、直线x/4+y/3=l与椭圆x2/16+y2/9=l

2、相交于A,B两点，该椭圆上点P,使得APAB面积等于3,这样的点P共冇()0(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个5、已知两个实数集合A={8/2,…,a]。。}与B={b]®，…,bso},若从A到B的映射f使得B中每个元素都有原象，Hf(ajWf(a2)S…Wf(ag)则这样的映射共有()o(A)C5°ioo(B)C4899(C)C491Oo(D)C49996、由Illi线x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为VI；满足x2+y2<16,x2+(y-2)2>4,x2+(y+2)2>4的点

3、(x,y)组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V?,则)o(C)V

4、=V2(D)V!=2V2(A)Vi=(1/2)V2(B)Vt=(2/3)V2二.填空题(本题满分54分，每小题9分)7、已知复数Z】,Z2满足IZ,I=2,IZ2I=3,若它们所对应向量的夹角为60。,则I(Z1+Z2/(Z,+Z2)8、将二项式(6+1/(2"x))“的展开式按x的降幕排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式屮x的幕指数是整数的项共有个。9、如图，点P

5、,P2,P】。分别是四面体顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组(P1,Pi,PJ,Pk)(l

6、f(x)+5,f(x+l)

7、-Iy

8、的最小值是。12、使不等式sin2x+acosx+a2>1+cosx对一切xWR恒成立的负数a的取值范圉是三、解答题(本题满分60分，每小题20分)13、已知点A(0,2)和抛物线y2=x+4上两点B,C使得AB丄BC,求点C的纵坐标的取值范围。14、如图，有一列曲线P(

9、),PPP2……，已知P()所围成的图形是面积为1的等边三角形，Pt是对Pk进行如下操作得到：将Pk的每条边三等分，以每边屮间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将屮间部分的线段去掉(k=0,l,2,)。记“为曲线代所围成图形的血积。(1)求数列｛Sn｝的通项公式；(2)求limSn.n—>oo15、设二次函数f(x)=ax'+bx+c(a,b,c丘R,a工0)满足条件:(1)当xER时,f(x-4)=f(2-x),且Rx)>x;(1)当xG(0,2)时,f(x)<((x+l)/2)2;(1)f(x)在R上的最小值为0.求最人的m(m>l

10、),使得存在tWR,只耍xW[l,m],就有f(x+t)0有xv/或x>3，故函数logi/2(x2-2x-3)的定义域为x<-1或x>3。二次函数u=x2-2x-3在(-oo,-1)内单调递减，在(3,+s)内单调递增。而logi/2U在(0,+8)上单调递减，所以logi/2(x2-2x-3)tE(-«>,-1)单调递增，故选Ao2、(x+5)2+(y-12)2=142是以点C(・5,12)为圆心,半径为14的圆。设P为圆上任一点,则

11、OP

12、>

13、CP

14、-

15、OC

16、=14-13=1当点C、O、P共线时，等号成立，所以

17、P到点O的最小值为1，故选B。3、函数f(x)的定义域是(-oo,0)U(0,+oo),当xhO时，因为f(-x)=(-x)/(1-2-x)-(-x)/2=(-x2x)/(2x-1)+(x/2)=(x+x(2x-1))/(1-2x)+(x/2)=(x/(1-2x))-x+(x/2)=(x/(1-2x))-(x/2)=f(x),所以f(x)为偶函数，显然f(x)不是奇函数，故选Ao4、设Pi(4cosa,3sina)(0

18、3sina)+(1/2)x3(4cosa)=6(sina+cosa)=6V2sin(a=(TT/4)),.•.Smax=6^2(此时a+(TT/4)).•.Saoab=(1/2)x4x3=6为