九年级数学上册专题突破讲练-《根的判别式的深化应用》试题新版青岛版

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1、根的判别式的深化应用一、一元二次方程根的判别式对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），它的解的情况由b2－4ac的取值决定，我们通常用“”来表示，，即。方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况b2－4ac＞0两个不相等的实数根b2－4ac＝0两个相等的实数根b2－4ac＜0没有实数根方法归纳：用b2－4ac可以判断方程根的情况，反过来，若已知方程根的情况，则可确定b2－4ac的取值。二、根的判别式的应用1.判断一元二次方程根的情况。2.确定一元二次方程中字母系数的取值范围。3.确定一元二次方

2、程根的某些特性，如是不是有理根。方法归纳：（1）计算b2－4ac时注意a、b、c表示各项系数，包括它们前面的符号；（2）关于根的判别式b2－4ac的正、负号的判定涉及代数式的恒等变形，一般地，将表示b2－4ac的代数式进行配方，利用非负数、非正数的概念，确定b2－4ac的正、负号。总结：1.会讨论方程的根的情况，包括一元一次方程和一元二次方程。2.能利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的特性，如：有理根、整数根等。例题1关于x的一元二次方程x2－mx＋（m－2）＝0的根的情况是（）A.有两个不相等的实

3、数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定解析：这是含字母系数的一元二次方程，将字母视为数字即可。这里a＝1，b＝－m，c＝m－2。因为b2－4ac＝（－m）2－4×1×（m－2）＝m2－4m＋8＝m2－4m＋4＋4＝（m－2）2＋4＞0，所以方程有两个不相等的实数根。答案：A点拨：判断b2－4ac的正、负情况时，通常有两种情形，（1）已知判别式中某些字母的取值范围，依此确定判别式的取值范围；（2）一般要将表示b2－4ac的代数式进行配方，利用偶次幂的非负性确定b2－4ac的正、负号。例题2定

4、义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程，已知ax2＋bx＋c＝0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）6A.a＝cB.a＝bC.b＝cD.a＝b＝c解析：由方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）满足a＋b＋c＝0可知方程的解为x＝1，然后由方程解的情况建立a、b、c之间的数量关系。答案：因为a＋b＋c＝0，所以b＝－（a＋c）。因为方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，所以b2－4ac＝0，把b＝

5、－（a＋c）代入，得：[－（a＋c）]2－4ac＝a2＋2ac＋c2－4ac＝0。所以a2－2ac＋c2＝0，即（a－c）2＝0。所以a＝c。故选A。点拨：解此类型问题，首先要明确所给定义的含义，然后用定义去考量已知条件，依据定义或定义提供的方法解题。例题3已知关于x的方程kx2－5x＋2＝0有实数根，求k的取值范围。解析：本题并没有明确指出方程是否为一元二次方程，因此应对二次项系数a的取值进行分类讨论。答案：当k＝0时，方程为一元一次方程，有一个实数根。当k≠0时，方程为一元二次方程，且a＝k、b＝－

6、5、c＝2。所以＝b2－4ac＝（－5）2－4×k×2＝25－8k。当25－8k＞0，即k＜且k≠0时，方程有两个不相等的实数根；当25－8k＝0，即k＝时，方程有两个相等的实数根；当25－8k＜0，即k＞时，方程无实数根。综上所述，k的取值范围是k≤。点拨：从数学方法的角度看，本题属于分类讨论型问题，而且需要讨论两点：一是此方程可分为一元一次方程和一元二次方程两种情况；二是一元二次方程有实数根可分为有两个相等的实数根和两个不相等的实数根。一元二次方程根的判别式不但可以判断方程有没有实数根，而且可以判断

7、出方程有没有有理根。不难理解，只要＝b2－4ac是一个有理数的完全平方数（或开平方开得尽），原方程的根就一定是有理数。要判断一个一元二次方程的根是不是整数可结合x＝来确定。例题边长为整数的直角三角形，若其两直角边边长是方程x2－（k＋2）x＋4k＝0的两根，求k的值，并确定直角三角形三边之长。解：因为方程的根为整数，故＝（k＋2）2－16k为完全平方数。设（k＋2）2－16k＝n2，∴k2－12k＋4＝n2，∴（k－6）2－n2＝32，∴（k＋n－6）（k－n－6）＝1×32＝2×16＝4×8。∵k＋n

8、－6＞k－n－6，∴或或。解得k1＝（舍去），k2＝15，k3＝12。6当k＝15时，有x2－17x＋60＝0，解得x＝5或12，则斜边c＝13；当k＝12时，有x2－14x＋48＝0，解得x＝6或8，则斜边c＝10。所以这个直角三角形三边长分别为5、12、13或6、8、10。分析：解答本题的关键是根据已知方程求出直角三角形的两条直角边长，因为直角三角形的边长为整数，所以已知方程有两个整数根。一元二次方程有整数根至少要求判别式为有理数的完全