九年级数学上册专题突破讲练-《与圆有关的角》试题新版青岛版

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1、与圆有关的角角是几何图形中最重要的元素，圆心角和圆周角是圆中比较常见的角。圆的特征赋予角极强的灵活性，使得角之间能灵活的互相转化。1.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。说明：在同圆或等圆中，根据圆周角与圆心角的倍半关系，可实现圆心角与圆周角的转化，由同弧或等弧所对的圆周角相等，可将圆周角在大小不变的情况下，改变顶点在圆上的位置进行探索。2.圆周角定理推论：推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90º的圆周角所对的弦是直径。推论2：圆内接四边形的对角

2、互补。说明：根据圆周角定理推论，可将直角三角形引入到圆中，解决圆中有关角或线段问题；由圆内接四边形的对角互补和外角等于内对角，可将与圆有关的角互相联系起来。3.弧、弦、圆心角之间的关系：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。说明：根据弧、弦、圆心角之间的关系，可在圆中弧、弦、圆心角之间架起一道桥梁。4.切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径说明：圆的切线垂直于过切点的半径，可以把圆的有关问题转化为直角三角形的问题解决。示例：如图，AB是⊙O的切线，B为切点

3、，AO与⊙O交于点C，若∠BAO=40°，则∠OCB的度数为（）A.40°B.50°C.65°D.75°9解析：本题出现了切线，利用切线的性质，可把问题转化为直角三角形的问题解决；同时根据同圆的半径相等，可以建立等腰三角形解答问题。解：∵AB是⊙O的切线，∴∠OBA=90°，∴∠O=90°－∠BAO=90°－40°=50°，又∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=（180°－50°）=65°，故选C。例题已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D。（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC

4、=30°，求∠BAC的大小；（2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小。解析：（1）连接OC，由已知及切线的性质推AD∥OC，进而根据OA=OC，推∠DAC、∠ACO、∠CAO的关系；（2）连接BF，根据已知条件利用直角三角形两直角互余求建立等量关系，再根据圆内接四边形对角互补转化关系，最后求∠BAF。答案：解：（Ⅰ）如图，连接OC。∵直线l与⊙O相切于点C时，∴OC⊥l，得∠OCD=90°。由AD⊥l，得∠ADC=90°。∴AD∥OC，∴∠ACO=∠DAC，在⊙O

5、中，由OA=OC，得∠BAC=∠ACO，∴∠BAC=∠DAC=30°；（Ⅱ）如图，连接BF。∵AB为⊙O直径，，∴∠FAB+∠B=90°。9∵AD⊥l，∴∠DAE+∠AED=90°。∵∠AED+∠AEF=180°，又∵在⊙O中，四边形ABFE是圆内接四边形，有∠AEF+∠B=180°，∴∠AED=∠B，∴∠FAB=∠DAE。∵∠DAE=18°，∴∠BAF=18°。点拨：1.有切线和切点，常做切半径作为辅助线，转移相关的角；2.直径对的圆周角是直角、圆内接四边形的对角互补等性质是在圆中推导角的关系时常用的性

6、质。圆中的角在开放性问题中的应用满分训练如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径。∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F。（1）求证：DP∥AB；（2）试猜想线段AE、EF、BF之间有何数量关系，并加以证明；解析：（1）题须作“经过切点的半径”，是圆中解决和切线有关的问题时常用的辅助线；理顺各角间的关系是解答本题的关键。（2）题须证明△ADE≌△DBF，利用圆周角定理找出AD＝BD是解答本题的关键；答案：（1）证

7、明：连接OD。∵PD切⊙O于点D，∴OD⊥PD，∴∠ODP＝90°∵∠ACD＝∠BCD，∠AOD＝2∠ACD，∠BOD＝2∠BCD，∴∠AOD＝∠BOD＝∠AOB＝×180°＝90°，∴∠ODP＝∠BOD，∴PD∥AB。（2）答：BF－AE＝EF。证明如下：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ADE＋∠BDF＝90°。∵AE⊥CD，BF⊥CD，∴∠AED＝∠BFD＝90°，∴∠FBD＋∠BDF＝90°，∴∠FBD＝∠ADE。∵∠AOD＝∠BOD，∴AD＝BD，∴△ADE≌△DBF。∴BF＝DE，AE＝DF，

8、∴BF－AE＝DE－DF＝EF，即BF－AE＝EF。9点拨：由于圆的切线垂直于过切点的半径，所以如果圆中有切线，一般作经过切点的半径，构造直角三角形，在直角三角形中求角的度数；在同圆或等圆中，常借助圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，来寻求圆周角和圆心角之间的关系。（答题时间：30分钟）1.（黔西中考）如图1所示，线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则等于（）A.B.C.