《线性代数的几何意义》之五（矩阵的几何意义(上)）

《《线性代数的几何意义》之五（矩阵的几何意义(上)）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、《线性代数的几何意义》--------图图解解线线性性代代数数--------线线线性性性代代代数数数的的的几几几何何何意意意义义义之之之（（（555上上上）））任广千编著y1-2-10x2-12010．08．16第1页，共38页《线性代数的几何意义》几几何何意意义义名名言言录录没有任何东西比几何图形更容易印入脑际了，因此用这种方式来表达事物是非常有意义的。-------笛卡尔算术符号是文字化的图形，而几何图形则是图像化的公式；没有一个数学家能缺少这些图像化的公式。--------希尔伯特“如果代数与几何各自分开发展

2、，那它的进步十分缓慢，而且应用范围也很有限，但若两者互相结合而共同发展，则就会相互加强，并以快速的步伐向着完善化的方向猛进。”--------拉格朗日不会几何学就不会正确的思考，而不会正确思考的人不过是行尸走肉。--------柏拉图无论是从事数学教学或研究，我是喜欢直观的。学习一条数学定理及其证明，只有当我能把定理的直观含义和证明的直观思路弄明白了，我才认为真正懂了。--------中国当代数学家徐利治第2页，共38页《线性代数的几何意义》第五章矩阵的几何意义通过前面的章节我们初步了解到，解线性方程组的克莱姆法则使

3、用了行列式理论，但克莱姆法则只能用于解方程个数等于未知数个数的方程组，而且系数行列式不能等于0。即使以上条件都满足，也要计算n+1个n阶行列式。实际工程中的n一般很大，即使在现代计算机技术面前，计算效率也不能使人满意。在用消元法解各种类型的线性方程组时，一系列问题出现了：当系数行列式等于0时，方程组是否有解？若有解又如何求出？当未知量个数与方程的个数不等时，线性方程组的解又如何？要深入探讨这些问题除了向量概念外还需要引入矩阵的理论。到1858年，哈密尔顿（W.R.Hamilton）和凯莱（A.Cay-ley）的著作中

4、出现了矩阵的运算，从行列式到矩阵的出现，大约经过了100多年的时间。我们知道，在直角坐标系中，一个有序的实数数组(,)ab和(,,)abc分别代表了平面上和空间上的一个点，这就是实数组的几何意义。类似的，在线性空间中如果确定了一个基，线性映射就可以用确定的矩阵来表示，这就是矩阵的几何意义：线性空间上的线性映射。矩阵独立的几何意义表现为对向量的作用结果。矩阵对一个向量是如何作用的？矩阵对多个向量是如何作用的？矩阵对一个几何图形（由无数向量组成的几何图形）是如何作用的？在矩阵对一个几何图形的作用研究中，我们会发现一些有规

5、律的东西比如特征向量、秩等等。5.1.矩阵的概念矩阵的本质就是一个长方形的数表，在生活中的所有长方形数表都可以看成是矩阵。矩阵和行列式相似，也是以行和列组织的矩形数字阵列，因此称为矩阵。与行列式的表示法不同，矩阵是用方括号把数字块括起来，表示一个有顺序有组织的数据块；而行列式是对这些数据块进行的一个运算，是一个算式，故称为行列式。矩阵的一个三阶例子如下：⎡abc111⎤⎢⎥abc⎢222⎥⎢abc⎥⎣333⎦如果用数组来统一定义标量、向量和矩阵的话就是：标量是一维向量，向量是标量的数组，矩阵则TT是向量的数组。例如上

6、面介绍的矩阵我们如果使用列向量a=()aaa123,,，b=()bbb123,,，Tc=(ccc123,,)来表示它，这个矩阵就可以写作：[abc]。当然，矩阵不只是只有几何意义，也具有现实的物理意义，矩阵的运算也都可以从实践中找到。下面有个例子：比如某家电器公司的制造厂有几个生产线，产线在2009年和2010年的上半年的产出量的统计表如下：顺序产线名2009年上半年的每月产出量第3页，共38页《线性代数的几何意义》1月2月3月4月5月6月1冰箱线2235302325122吸尘器254332343530线3电视线23

7、2334444045顺序产线名2010年上半年的每月产出量1月2月3月4月5月6月1冰箱线2234302325122吸尘器线2443323435343电视线2323344541454手机线3434354523435VCD线452431344512我们将第一个表格对应的矩阵记为A，第二个表格对应的矩阵记为B，则有：⎡⎤223530232512⎡223430232512⎤⎢⎥⎢⎥254332343530244332343534⎢⎥⎢⎥A=⎢⎥232334444045和B=⎢232334454145⎥。⎢⎥⎢⎥000000

8、343435452343⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦000000⎢⎣452431344512⎥⎦那么有：AB+实际意义是：2009、2010年1~6月各产线每月产量的和(2001年手机，VCD机的产量为0)；BA−实际意义是：2010年1~6月各产线每月产量比上年同期的增产情况；设冰箱、吸尘器、电视机、手机、VCD机的价格分别是l500元台、900元/台、