转动矩阵的几何意义

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1、高参考价值的真题、答案、学长笔记、辅导班课程，访问：www.kaoyancas.net转动矩阵的几何意义前面坐标变换一节中我们知道：转动与特殊正交矩阵是一一对应的。既然如此，那么对于任意给定的某一特殊正交矩阵（如λ），从它（代数概念）我们就应该可以知道有关转动（几何概念）的所有特征，譬如，这个矩阵能够告诉我们它所对应的转动绕着什么轴转过多大的角度。从主动的观点考察这个问题会直观一些。我不加证明的给出特殊正交矩阵的一些性质：设λ是给定转动在某个坐标系（如xxx）中的矩阵（也就是说他123是一个行列式等于1的正交矩阵，当然我们还要求它的元素都是实数），那么1.λ的本征值之模为1。2.λ

2、至少有一个本征值为+1，不妨令λ=+1，其归一化本征矢记为nˆ；3另外两个本征值必可写为λ1=exp(iΦ)和λ2=exp(−Φi)的形式。从这些代数性质我们就可以得到下面的结论：nˆ在λ代表的转动的转动轴上；Φ是转动角度的大小。第一个结论是因为nˆ是λ的本征矢，λnnˆ=ˆ，它的几何意义是这个矢量在转动下是不变的，因此nˆ只能在转动轴上；对于第二个结论，我们可以这样来理解，假设这个转动表示所有矢量绕着nˆ轴转过一个角度Φ′（如图），我前面讲过主动意义下的转动是一个2阶张量，而λ则是这个张量在给定坐标系xxx中123的分量矩阵。现在我们取一个新的坐标系x′xx′′，使其x′轴沿着n

3、ˆ的方向。当1233然，新坐标系可由原来坐标系作一个转动得到，不妨设转动矩阵为μ，即x′=μx。在新坐标系中这个张量的分量是我们已经知道了的，它就是iijj⎛⎞cosΦ′−Φsin′0⎜⎟λ′′′=ΦΦsincos0(1)⎜⎟⎜⎟⎝⎠001第1页，共6页完整版，请访问www.kaoyancas.net科大科院考研网，专注于中科大、中科院考研高参考价值的真题、答案、学长笔记、辅导班课程，访问：www.kaoyancas.netx3x3′x2′xxii′=μjjnˆ⎛⎞cosΦ−Φ′′sin0xΦ′2⎜⎟Tλ′′′=ΦΦ=sincos0μλμ⎜⎟⎜⎟001⎝⎠x1x′1而我们前面知道，

4、2阶张量在不同坐标系中的分量相差一个相似变换，因此Tλ′=μλμ(2)两边求迹便得到了我们的结论：TTtrλμ′===tr()λμμtr(μλ)trλCC3λ′∑λ(3)iiii=1CC12cos+Φ′=12cos+Φ最后还有一个小小的问题没有解决，上面的分析实际上只能告诉我们转动轴所在的直线和转动角度的大小，仅仅这些还不能完全确定转动。实际上，这时有四种可能的转动：○1绕nˆ轴转动Φ，○2绕nˆ轴转动−Φ（即绕nˆ轴顺时针转动Φ），○3绕−nˆ轴转动Φ，以及○4绕−nˆ轴转动−Φ（即绕−nˆ轴顺时针转动Φ）。其中○1和○4、○2和○3实际上分别对应同一个转动。那么，λ究竟对应绕着

5、nˆ轴还是绕着−nˆ轴逆时针转动角度Φ呢？这一点需要考察矩阵的具体形式才能回答，而无法通过本征值问题得到答案。事实上，当你把转动矩阵化为前面λ′的形式，那么就可以根据λ（或者λ）的正负号回答这个问题了。在习题中我请你思1221考另外一种更加简便的方法来确定转动角度的大小以及转动轴（连同其方向）。第2页，共6页完整版，请访问www.kaoyancas.net科大科院考研网，专注于中科大、中科院考研高参考价值的真题、答案、学长笔记、辅导班课程，访问：www.kaoyancas.neth下面我们用几何观点看一下一个矢量r在绕着nˆ轴（逆时针方向）转动角度hhhΦ后得到的新矢量r′是什么。

6、（也就是说，我们想知道如何用r以及nˆ和Φ把r′hhgggh表示出来，当然，代数上它就是r′=λr）。通过简单的几何分析可知：OQ可ggghggghggghggghhh以分解为相互垂直的两部分OQ=+ONNQ，而ON就是r′（或者r）在nˆggghhgggh方向上的投影：ON=⋅nnrˆˆ()。至于NQ，我们也把它分解为相互垂直的两ggghggghggghggghgggh部分：NQ=+NVVQ，其中NV=NPcosΦ，而ggghggghggghhhggghhNP=−=−⋅OPONrnnrˆˆ()，另外一项VQ=nrˆ×sinΦ。因此hhhhhrnnr′=⋅+−⋅ˆˆ()⎡⎤⎣⎦rn

7、nrˆˆ()cosΦ+nrˆ×sinΦhhh(4)=Φrncos+⋅−Φˆˆ()nr(1cos)+nˆ×Φrsin此式称为转动公式。前面我们提到过，一般来说，两次转动是不可交换的，你也可以从这个关系式看出这一点。hhrnnr−⋅ˆˆ()NΦPVhPNQnnrˆˆ(⋅)Φhhhrr′nrˆ×nˆQO但是，对于一类特殊的转动，也就是当转动角度无限小时，任何两次相继的转动却是可以交换的。此时转动公式变为hhhrrnr′=+×Φˆd(5)这里，我们用dΦ代替Φ表示这是一个无限