矩阵分析的几何意义－bak

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1、1数学里面的特征值和特征矩阵到底有什么用?矩阵的特征值要想说清楚还要从线性变换入手，把一个矩阵当作一个线性变换在某一组基下的矩阵，最简单的线性变换就是数乘变换，求特征值的目的就是看看一个线性变换对一些非零向量的作用是否能够相当于一个数乘变换，特征值就是这个数乘变换的变换比，这样的一些非零向量就是特征向量，其实我们更关心的是特征向量，希望能把原先的线性空间分解成一些和特征向量相关的子空间的直和，这样我们的研究就可以分别限定在这些子空间上来进行，这和物理中在研究运动的时候将运动分解成水平方向和垂直方向的做法是一个道理！1阵列信号处理中的相关

2、矩阵的物理意义是什么呢比方说一个10元阵列，接收到100点数据，阵列矩阵可以看作是X，X是10*100的矩阵。求取相关矩阵R=X*X’/100，R就是一个10*10的矩阵。那R反映的是信号的什么物理意义呢？对R进行特征分解，每个特征值又有什么物理意义呢？通常阵列快拍可以写成x=As+n的形式，其中A=[a_1a_2...a_K]为以各个信号导向矢量作为列向量构成的矩阵，s=[s_1(t)s_2(t)]^T为信号矢量，而n为白噪声矢量，则R=E{xx^H}=A*S*A^H+sigma*I，S=E{s*s^H}将给出各个信号的功率和互相关信

3、息。因为可以看出R提供的是各个信号在阵列上的空域响应结构以及相应的功率及相关关系。如果是做波束形成的话，那么实际上正是利用了这些空域结构和功率关系在各个方向形成恰当的响应是某种准则最优。如果是做DOA估计，那么这个自相关矩阵结合阵列几何信息就可以求解出DOA。ls的意思也就是说是空间相应以及信号的互相关关系的叠加了？那比方说，最大特征值对应的是谁的特征呢？最大功率信号的？好像我在实际处理中发现不是这样的阿自相关矩阵最大特征值和特征向量并没有和原来哪个信号一一对应的关系，而且特征分解本身的含义相当于对原来的信号矢量做了这样的正交分解，使得

4、各个分量之间相互不相关，也即是K-L展开，每一个特征值相应于原来各个信号导向矢量的线性组合，因此是不能仅仅从某个特征矢量中直接对应原来某个信号的特征的。从另外一个角度也可以说明这一个问题。考虑如下场景：有两个阵列，他们的阵列几何结构不同，而且他们接收的信号也不同，但是他们是有可能获得相同的自相关矩阵的（从而特征值和特征向量也完全相同），从这个意义上讲，你是不能仅仅凭借自相关矩阵来获得完全的原来的信号信息的，同样仅仅凭借特征结构也不能做到这一点，这一还原过程是存在某种不确定性的。而这种不确定性的来源就是阵列几何信息的未知。如果你能够进一步

5、知道阵列几何信息，那么自相关矩阵就可以告诉你原始的信号环境是什么。MUSIC方法基本的想法就是这样的，他利用自相关矩阵提供的信号子空间（只是一个子空间，还原会信号参数还是有不确定性的），利用这个子空间和阵列流形的交点来确定相应的信号DOA参数，消除了这种不确定性。这个在Schmidt他最早提出MUSIC算法的论文上就有讲到。谢谢ls我是在实际处理中遇到了这样的困难比方说无方向性的噪声很强，有方向的目标回波相对弱很多，去除相关矩阵的几个大特征值对后续波束形成阿DOA估计阿有很大好处，但是我没有想明白这是为什么。是最大特征值中有很大成分是噪

6、声的原因吗？这个可能是因为噪声远大于方向性信号的情况下，在用有限样本估计自相关矩阵的时候，些对应于噪声子空间的特征值有可能会因为随机起伏而大于对应于信号子空间的特征值。1线形空间和矩阵的几个核心概念l首先说说空间(space)空间有很多种。你要是去看某种空间的数学定义，大致都是"存在一个集合，在这个集合上定义某某概念，然后满足某些性质"，就可以被称为空间。这未免有点奇怪，为什么要用"空间"来称呼一些这样的集合呢？大家将会看到，其实这是很有道理的。我们一般人最熟悉的空间，毫无疑问就是我们生活在其中的（按照牛顿的绝对时空观）的三维空间，从数

7、学上说，这是一个三维的欧几里德空间，我们先不管那么多，先看看我们熟悉的这样一个空间有些什么最基本的特点。仔细想想我们就会知道，这个三维的空间：1.由很多（实际上是无穷多个）位置点组成；2.这些点之间存在相对的关系；3.可以在空间中定义长度、角度；4.这个空间可以容纳运动，这里我们所说的运动是从一个点到另一个点的移动（变换），而不是微积分意义上的"连续"性的运动，上面的这些性质中，最最关键的是第4条。第1、2条只能说是空间的基础，不算是空间特有的性质，凡是讨论数学问题，都得有一个集合，大多数还得在这个集合上定义一些结构（关系），并不是说有

8、了这些就算是空间。而第3条太特殊，其他的空间不需要具备，更不是关键的性质。只有第4条是空间的本质，也就是说，容纳运动是空间的本质特征。认识到了这些，我们就可以把我们关于三维空间的认识扩展到其他的空间。事实上