固体物理学自由电子论

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1、固体物理学6自由电子论固体物理学讲稿第六章自由电子论和电子的输运性质6-1电子气的费米能和热容量自由电子气(自由电子费米气体)：自由的、无相互作用的、遵从泡利原理的电子气。一费米能量1.模型(索末菲)(1)金属中的价电子彼此之间无相互作用；(2)金属内部势场为恒定势场(价电子各自在势能等于平均势能的势场中运动)；(3)价电子速度服从费米—狄拉克分布。2.费米分布函数在热平衡时，能量为E的状态被电子占据的概率是f(E)?1e(E?EF)kBT?1EF---费米能级(等于这个系统中电子的化学势)，它的意义是在体积不变的条件下，系统增加一个电子所需的自由能。它是温度T和晶体自由电子总数N的函数。

2、a.T?0b.T?0E??EF?1?f(E)??陡变E?EF?0E?EF??1E??EF?1f(E)??E?EF2??0E??EF随着T的增加，f(E)发生变化的能量范围变宽，但在任何情况下，此能量范围约在EF附近?kBT范围内。3.费米面1固体物理学讲稿E=EF的等能面称为费米面。在绝对零度时，费米面以内的状态都被电子占据，球外没有电子。T≠0时，费米球面的半径kF比绝对零度时费米面半径小，此时费米面以内能量离EF约kBT范围的能级上的电子被激发到EF之上约kBT范围的能级。4.求EF的表达式E~E+dE间的电子状态数：N(E)dEE~E+dE间的电子数：f(E)N(E)dE系统总的电子

3、数：N?分两种情况讨论：(1)在T=0K时，上式变成：N???０f(E)N(E)dE?0EF０N(E)dE将自由电子密度N(E)=CE1/2代入得：N??0EF０20CEdE?CEF32??32V?2m?其中C?c2?2?2π???22V?2m?0N?E??F32π2??2?32??32令n=N/V，代表系统的价电子浓度2固体物理学讲稿?2E?3nπ22m0F??2金属中一般n~1028m-3，电子质量m=9×10-31kg，自由电子气系统中每个电子的平均能量由下式计算EdN＝０NC?N?0EF0E32dE?30EF5由上式可以看出即使在绝对零度时电子仍有相当大的平均能量，这与经典的结果是

4、截然不同的。(1)在T≠0K时，N??CE2f(E)dE０???22??fCf(E)E3?C?E2E0330?E(分步积分得来)2??f??C?E3E30?E=0则上式化简为2若令g(E)?CE32,3N??g?E?(?0??fdE?E(??f)函数的特点具有类似于?(E-EF)函数的性质，仅在EF附近kBT的范围内才有显?E著的值，且是E-EF的偶函数。因此一方面，N?????g?E?(??f)dE?E12g??(EF（)E?EF）????2另一方面，将g(E)在EF附近展开为泰勒级数：g(E)?g(EF)?g?(EF（)E?EF）?只考虑到二次方项，略去三次方以上的高次项，可得到3固体

5、物理学讲稿N?g(E??fF)???(??E)dE?g?(E??fF)???(E?EF)(??E)dE?12g??(E??fF)???(E?E2F)(??E)dE?I0g(EF)?I1g?(EF)?I2g??(EF)?f很显然，I0等于１，由于(??E)为(E-EF)的偶函数，因此I1=0。I?1?0I2?12???(E?E2?fF)(??E)dE令(E-EF)/kBT=?，则f?1e??1?fe??1?E?(e??1)2kBT(k2??I?BT)2?e22??(e??1)2?d?e?e??由于(e?1)2?(e??1)2为偶函数，因此I2?(kBT)2??e?０(e??1)2?2d?计算

6、得Iπ2２?6(kBT)2N?I0g(EF)?I1g?(EF)?I2g??(EF):=1=0π2(kBT)26?g(Eπ222?π2?kT?2?F)?6g??(EF)(kBT)?3CEBF??1????8???EF????定义电子气的费米温度，T0E0F?FB4固体物理学讲稿N?2?π2??23CEkBTF??1???8?????E?2C(E032F)F????3E?π22?kBT?2F??1???02?8???EF?????EF?利用kBT<<EE?F，最后得π2?kT?20B?F?EF??1???12??T0?F?????当温度升高时，EF降低。在金属熔点以下,T<&

7、lt;T00F,EF与EF差别不大。二金属中电子气的热容量1.每个电子的平均能量E~E+dE间的电子数：f(E)N(E)dEE~E+dE间电子的能量:Ef(E)N(E)dE电子的总能量：??0Ef(E)N(E)dE?每个电子的平均能量：??0Ef(E)N(E)dE?N?1N?0Cf(E)E32dE???0Ef(E)N(E)dE1?N?N?0Cf(E)E32dE=0??2CNf(E)E52CE52(?f5?05N??0?E