凸透镜的成像公式的两种证明方法

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1、凸透镜的成像规律是1/u+1/v=1/f（即：物距的倒数与像距的倒数之和等于焦距的倒数。）证明方法1：几何法【题】如右图，用几何法证明1/u+1/v=1/f。几何法推导凸透镜成像规律【解】∵△ABO∽△A'B'O∴AB:A'B'=u:v∵△COF∽△A'B'F∴CO:A'B'=f:(v-f)∵四边形ABOC为矩形∴AB=CO∴AB:A'B'=f:(v-f)∴u:v=f:(v-f)∴u(v-f)=vf∴uv-uf=vf∵uvf≠0∴(uv/uvf)-(uf/uvf)=vf/uvf∴1/f-1/v=1/u即：1/u+1

2、/v=1/f方法2：函数法【题】如右图，用函数法证明1/u+1/v=1/f。【解】一基础右图为凸透镜成像示意图。其中c为成像的物体长度，d为物体成的像的长度。u为物距，v为像距，f为焦距。步骤（一）为便于用函数法解决此问题，将凸透镜的主光轴与平面直角坐标系的横坐标轴（x轴）关联（即重合），将凸透镜的理想折射面与纵坐标轴（y轴）关联，将凸透镜的光心与坐标原点关联。则：点A的坐标为（-u,c），点F的坐标为（f,0），点A'的坐标为（v,-d），点C的坐标为（0，c）。（二）将AA’，A'C双向延长为直线l1,l2，视

3、作两条函数图象。由图象可知：直线l1为正比例函数图象，直线l2为一次函数图象。（三）设直线l1的解析式为y=k1x,直线l2的解析式为y=k2x+b依题意，将A(-u,c),A'(v,-d),C(0,c)代入相应解析式得方程组：c=-u·k1-d=k2v+bc=b把k1,k2当成未知数解之得：k1=-(c/u)k2=-(c/f)∴两函数解析式为：y=-(c/u)xy=-(c/f)x+c∴两函数交点A'的坐标（x,y)符合方程组y=-(c/u)xy=-(c/f)x+c∵A'(v,-d)∴代入得：-d=-(c/u)v-

4、d=-(c/f)v+c∴-(c/u)v=-(c/f)v-c=-d∴(c/u)v=(c/f)v-c=dcv/u=(cv/f)-cfcv=ucv-ucffv=uv-uf∵uvf≠0∴fv/uvf=(uv/uvf)-(uf/uvf)∴1/u=1/f-1/v即：1/u+1/v=1/f