高中不等式证明例题(一题多解)

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1、多种方法证明高中不等式例1证明不等式(n∈N*)证法一：(1)当n等于1时，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立；(2)假设n=k(k≥1)时，不等式成立，即1+＜2，∴当n=k+1时，不等式成立.综合(1)、(2)得：当n∈N*时，都有1+＜2.另从k到k+1时的证明还有下列证法：证法二：对任意k∈N*，都有：证法三：设f(n)=那么对任意k∈N*都有：∴f(k+1)＞f(k)因此，对任意n∈N*都有f(n)＞f(n－1)＞…＞f(1)=1＞0，∴例2求使≤a(x＞0，y＞0)恒成立的a的最小值.解法一：由于a的值为正数，将已

2、知不等式两边平方，得：x+y+2≤a2(x+y)，即2≤(a2－1)(x+y)，①∴x，y＞0，∴x+y≥2，②当且仅当x=y时，②中有等号成立.比较①、②得a的最小值满足a2－1=1，∴a2=2，a=(因a＞0)，∴a的最小值是.解法二：设.∵x＞0，y＞0，∴x+y≥2(当x=y时“=”成立)，∴≤1，的最大值是1.从而可知，u的最大值为，又由已知，得a≥u，∴a的最小值为.解法三：∵y＞0，∴原不等式可化为+1≤a，设=tanθ，θ∈(0，).∴tanθ+1≤a；即tanθ+1≤asecθ∴a≥sinθ+cosθ=sin(θ+)，③

3、又∵sin(θ+)的最大值为1(此时θ=).由③式可知a的最小值为.例3已知a＞0，b＞0，且a+b=1.求证：(a+)(b+)≥证法一：(分析综合法）欲证原式，即证4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0，即证4(ab)2－33(ab)+8≥0，即证ab≤或ab≥8.∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立∵1=a+b≥2，∴ab≤，从而得证.证法二：(均值代换法)设a=+t1，b=+t2.∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴t1+t2=0，

4、t1

5、＜，

6、t2

7、＜显然当且仅当t=0，即a=b=时，等号成立.证法三：(比较法

8、）∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2，∴ab≤证法四：(综合法)∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2，∴ab≤.证法五：(三角代换法）∵a＞0，b＞0，a+b=1，故令a=sin2α，b=cos2α，α∈(0，)例4.已知a，b，c为正实数，a+b+c=1.求证：(1)a2+b2+c2≥(2)≤6证明：(1)证法一：a2+b2+c2－=(3a2+3b2+3c2－1)=［3a2+3b2+3c2－(a+b+c)2］=［3a2+3b2+3c2－a2－b2－c2－2ab－2ac－2bc］=［(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2］

9、≥0∴a2+b2+c2≥证法二：∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≤a2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c2∴3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2=1∴a2+b2+c2≥证法三：∵∴a2+b2+c2≥∴a2+b2+c2≥证法四：设a=+α，b=+β，c=+γ.∵a+b+c=1，∴α+β+γ=0∴a2+b2+c2=(+α)2+(+β)2+(+γ)2=+(α+β+γ)+α2+β2+γ2=+α2+β2+γ2≥∴a2+b2+c2≥∴原不等式成立.证法二：∴≤＜6∴原不等式成立.例5.已知x，y，z∈R，且

10、x+y+z=1，x2+y2+z2=，证明：x，y，z∈［0，］证法一：由x+y+z=1，x2+y2+z2=，得x2+y2+(1－x－y)2=，整理成关于y的一元二次方程得：2y2－2(1－x)y+2x2－2x+=0，∵y∈R，故Δ≥0∴4(1－x)2－4×2(2x2－2x+)≥0，得0≤x≤，∴x∈［0，］同理可得y，z∈［0，］证法二：设x=+x′，y=+y′，z=+z′，则x′+y′+z′=0，于是=(+x′)2+(+y′)2+(+z′)2=+x′2+y′2+z′2+(x′+y′+z′)=+x′2+y′2+z′2≥+x′2+=+x′2

11、故x′2≤，x′∈［－，］，x∈［0，］，同理y，z∈［0，］证法三：设x、y、z三数中若有负数，不妨设x＜0，则x2＞0，=x2+y2+z2≥x2+＞，矛盾.x、y、z三数中若有最大者大于，不妨设x＞，则=x2+y2+z2≥x2+=x2+=x2－x+=x(x－)+＞；矛盾.故x、y、z∈［0，］例6.证明下列不等式：(1)若x，y，z∈R，a，b，c∈R+，则z2≥2(xy+yz+zx)(2)若x，y，z∈R+，且x+y+z=xyz，则≥2()∵上式显然成立，∴原不等式得证.例7.已知i，m、n是正整数，且1＜i≤m＜n.(1)证明：n

12、iA＜miA；(2)证明：(1+m)n＞(1+n)m7.证明：(1)对于1＜i≤m，且A=m·…·(m－i+1)，，由于m＜n，对于整数k=1，2，…，i－1，有，所以(2)由二项式定理有：(