2018年高考数学 专题1.8 一题多变利用导数研究函数零点或曲线交点问题小题大做

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1、专题1.8一题多变利用导数研究函数零点或曲线交点问题【经典母题】设函数f(x)＝lnx＋，m∈R.讨论函数g(x)＝－零点的个数.【迁移探究1】设函数f(x)＝lnx＋，m∈R.已知函数g(x)＝－有两个零点，求m的范围？15【答案】0＜m＜【迁移探究2】若条件改为有零点，求m的范围？【答案】【解析】由题设g(x)＝－＝－－(x＞0)，令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x＞0).设φ(x)＝－x3＋x(x＞0)，15则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，当x∈(0，1)时，φ′(x)＞0，φ(

2、x)在(0，1)上单调递增；当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)＜0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减.∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是φ(x)的最大值点.∴φ(x)的最大值为φ(1)＝.又φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图象(如图)，则当时，函数g(x)有零点.规律方法　函数的零点、方程的根、曲线的交点，这三个问题本质上同属一个问题，它们之间可相互转化,这类问题的考查通常有两类：(1)讨论函数零点或方程根的个数；(2)由函数零点或方程的根的个数求参数的取值范围.常用两种方法：(1

3、)运用导数研究函数的单调性和极值，利用单调性和极值定位函数图象来解决零点问题；(2)将函数零点问题转化为方程根的问题，利用方程的同解变形转化为两个函数图象的交点问题，利用数形结合来解决.处理策略：变量分离；直接讨论；讨论零点个数的答题模板第一步：求函数的定义域；第二步：分类讨论函数的单调性、极值；第三步：根据零点存在性定理，结合函数图象确定各分类情况的零点个数.【变式训练】1.函数f(x)＝(ax2＋x)ex，其中e是自然对数的底数，a∈R.(1)当a>0时，解不等式f(x)≤0；(2)当a＝0时，求整数

4、t的所有值，使方程f(x)＝x＋2在[t，t＋1]上有解.15(2)当a＝0时，方程即为xex＝x＋2，由于ex>0，所以x＝0不是方程的解，所以原方程等价于ex－－1＝0.令h(x)＝ex－－1，因为h′(x)＝ex＋>0对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒成立，所以h(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)内是单调递增函数，又h(1)＝e－3<0，h(2)＝e2－2>0，h(－3)＝e－3－<0，h(－2)＝e－2>0，所以方程f(x)＝x＋2有且只有两个实数根且分别在区间[1，2]和[－3，－2]上，所以

5、整数t的所有值为{－3，1}.2．设函数，若对于在定义域内存在实数满足，则称函数为“局部奇函数”．若函数是定义在上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是（　　）A.[1﹣，1+）B.[﹣1，2]C.[﹣2，2]D.[﹣2，1﹣]153．定义在上的函数，满足，且当时，，若函数在上有零点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【解析】设，则，因为且当时，15，所以，则，4．函数是定义在R上的偶函数，且满足时，，若方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.15要使方程恰有三个不相等的实数根

6、，则由图象可得直线的斜率必须满足，由题意可得，则，．即有．故选A．5．已知定义在上的函数，周期为4，当时，当时，函数有5个零点，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.156已知函数，若关于的方程有8个不等的实数根，则的取值范围是A.B.C.D.（2,）15【解析】函数，的图象如图：关于的方程有8个不等的实数根，必须有两个不相等的实数根，由函数图象可知，令，方程化为：，，开口向下，对称轴为：，可知：的最大值为：，的最小值为2，故选D.7．已知函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是A.B.C.D.【解析

7、】15恰有两个零点，等价于与有两个交点，同一坐标系，画出与的图象，直线过时，，直线与，相切时，由图知，时，两图象有两交点，即的取值范围是故选C.8．已知函数，若函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是()A.[-1,1)B.[-1,2)C.[-2,2)D.[0,2]9．已知函数，若正实数互不相等，且，则的取值范围为（）A.B.C.D.【解析】函数,若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c)，如图，不妨a

8、lnb=2−1nc∴bc=e2，∴,(10,此