用数形结合思想方法解题时的常见错误分析

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1、用数形结合思想方法解题时的常见错误分析　　作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”.“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等等，特别是在做选择题时，只有一个答案是正确答案，用此种方法就可能起到意想不到的效果.“以形助数”是指把抽象的数学语言转化为直观的图形，可避免繁杂的计算，获得出奇制胜的解法.“以形助数”中的“形”，或有形或无形.

2、若有形，则可为图表与模型，若无形，则可另行构造或联想.因此“以形辅数”的途径大体有三种：一是运用图形；二是构造图形；三是借助于代数式的几何意义.但由于构造图形的误差，或者“无中生有”的不准确，有时可能会出现一些错误.本文就运用数形结合时容易出现的失误做个简单的归类分析，希望引起你的重视.　　1.潦草作图而导出的错误　　在同一坐标系中作几个函数的图像来比较时，我们一定要注意函数图像的延伸趋势以及伸展“速度”.因为我们画出的只是函数图像的一小部分，而不是全部.常言到“知人知面不知心”，同样的，我们从函数图像的部分而知道它的全部，在没画出来的部分图像是怎么样的呢？我们只有

3、根据函数图像的延伸趋势以及伸展“速度”来判断了.　　例1.判断命题“当a>1时，关于x的方程ax=logax无实数解”是否正确？　　错解：在同一坐标系中，分别画出函数y=ax（a>1）及y=logax（a>1）的图像，如图1所示，可见它们没有公共点，所以方程确无实数解，故命题正确.　　剖析：实际上对不同的实数a，y=ax及y=logax的图像的延伸趋势不同，例如当a=2时，原方程无实数解；而当a=时，x=2便是原方程的解.上面的错解就是潦草作图，而画出了个有误差的图形，并且想当然地根据图形而不去注意函数图像的延伸趋势而造成的.　　事实上，我们还可以通过几何画板的演示

4、（参数a可动态控制），在同一坐标系中作出函数y=ax和函数y=logax（a>0，a≠1）的图像，当a非常小时它们有三个交点，此时，方程ax=logax解的有3个.　　例2.比较2n与n2（n大于1的自然数）的大小.　　错解：在同一坐标系中分别画出函数y=2x及y=x2的图像，如图2所示，由图可知，两个图像有一个公共点.当x=2时，2x=x2，当x>2时有2xn2.错解是因为没有充分注意到两图像的递增“速度”！要比较两个图

5、像的递增速度，确实很难由图像直观而得.本题可以先猜想，后用数学归纳法证明.本题的正确答案是当n=2，4时2n=n2，当n=3时，2nn2，证明略.　　例3.（2013年高考?福建卷，文22题改编）已知函数f（x）=x-1+（a∈R，e为自然对数的底数）.当a=1时，若直线l：y=kx-1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值.　　解析：由题意，方程kx-1=x-1+无解，显然x=0不是方程的解，故分离参数后的方程k=1+无解.令g（x）=1+（x≠0），则g′（x）=，所以g（x）在（-∞，-1）上单调递增，在（-1，0）和（0，+∞）上单调递减，在x=-1处取

6、到极大值g（-1）=1-e.又当x→0+时，g（x）→+∞；当x→0-时，g（x）→-∞；当x→+∞时，g（x）→1；当x→-∞时，g（x）→-∞，即直线x=0和y=1是函数g（x）的两条渐近线，所以g（x）的大致图像如图3.由题意知，直线y=k与函数g（x）的图像无交点，观察图像易知，k∈（1-e，1]，故kmax=1.　　点评：本题为含参函数的零点问题，解决这类问题的常用方法是分离参数之后转化为等式两边的函数图像是否有交点问题，因此准确的作图至关重要.但考生在用导数法研究函数图像的变化趋势时，通常只关注函数的单调性与极值，而对函数图像是否存在渐近线意识淡薄，因而

7、常常造成作图错误.本题中函数g（x）在x=0处没有定义，考生通常仅将此点在函数图像上“挖空”，表示函数图像在此处“中断”，而不会意识到x=0是函数图像的渐近线.这是缺乏极限意识的表现.因此，要纠正上述错误，须树立极限意识，即在探明函数单调性之后，还要对单调区间两端的“断点”处分别求极限，以了解函数图像的走势与范围，如此方可给图像以相对准确的定位，避免作图的随意性.　　2.定义域扩大或缩小引起的错误　　例4.设t>0，求点A（+，-）与点B（-1，0）之间距离的最小值.　　解析：由点A（+，-）可知点A的轨迹为x2-y2=4，如图4所示，可知

8、AB

9、的最小值为1.