导数在生活中应用实例分析

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1、导数在生活中应用实例分析导数知识是学习高等数学的基础，它在自然科学、工程技术及日常生活等方面都有着广泛的应用．导数是从生产技术和自然科学的需要中产生的，同时，又促进了生产技术和自然科学的发展，它不在天文、物理、工程领域有着广泛的应用，而且在日常生活及经济领域也是逐渐显示出重要的作用．类型一环境问题例１烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染，已知落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱的距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比．现有Ａ、Ｂ两座烟囱相距２０ｋｍ，其中Ｂ座烟囱喷出的烟尘量是Ａ的８倍，试求出两座烟囱连线上的点

2、Ｃ，使该点的烟尘浓度最低．分析由题意知要确定某点的烟尘浓度最低，显然其烟尘浓度源自这两座烟囱，与其距离密切相关，因此可考虑先设出与某个烟囱的距离，从而表示出相应的烟尘浓度，再确定其最小值即可．解不妨设Ａ烟囱喷出的烟尘量是１，而Ｂ烟囱喷出的烟尘量为８，设ＡＣ＝ｘ（其中０＜ｘ＜２０），所以ＢＣ＝２０－ｘ，依题意得点Ｃ处的烟尘浓度ｙ＝ｋ/×2＋ｋ・８/（２０－ｘ）２（其中ｋ是比例系数，且ｋ＞０），ｙ′＝２ｋ（３ｘ－２０）（３ｘ２＋４００）ｘ２（２０－ｘ）２．令ｙ′＝０得（３ｘ－２０）（３ｘ２＋４００）＝０又０＜ｘ＜２０，

3、所以ｘ＝２０/３因为当ｘ∈(０，２０/３)时，ｙ′＜０；当ｘ∈(２０/３，２０)时，ｙ′＞０，故当ｘ＝２０/３时，ｙ取得最小值，即当Ｃ位于距点Ａ为２０/３ｋｍ时，使该点的烟尘浓度最低．类型二工程造价问题例２某地为了开发旅游资源，欲建一条连接风景点Ｐ和居民区Ｏ的公路，点Ｐ所在的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ（０°＜θ＜９０°），且ｓｉｎθ＝２５，点Ｐ到平面α的距离ＰＨ＝０．４（ｋｍ）．沿山脚原有一段笔直的公路ＡＢ可供利用．从点Ｏ到山脚修路的造价为ａ万元／ｋｍ，原有公路改建费用为ａ２万元／ｋｍ．当山坡上公路长

4、度为ｌｋｍ（１≤ｌ≤２）时，其造价为（ｌ２＋１）ａ万元．已知ＯＡ⊥ＡＢ，ＰＢ⊥ＡＢ，ＡＢ＝１．５（ｋｍ），ＯＡ＝３’ｋｍ．（１）在ＡＢ上求一点Ｄ，使沿折线ＰＤＡＯ修建公路的总造价最小；（２）对于（１）中得到的点Ｄ，在ＤＡ上求一点Ｅ，使沿折线ＰＤＥＯ修建公路的总造价最小；（３）在ＡＢ上是否存在两个不同的点Ｄ′、Ｅ′，使沿折线ＰＤ′Ｅ′Ｏ修建公路的总造价小于（２）中得到的最小总造价，证明你的结论．分析由题意知要求修建公路的总造价最小值，可以先建立相应的总造价函数关系式，再确定其最小值即可．解（１）如图，ＰＨ⊥α，ＨＢ"

5、α，ＰＢ⊥ＡＢ，由三垂线定理逆定理知，ＡＢ⊥ＨＢ，所以∠ＰＢＨ是山坡与α所成二面角的平面角，则∠ＰＢＨ＝θ，ＰＢ＝ＰＨｓｉｎθ＝１．设ＢＤ＝ｘ，０≤ｘ≤１．５．则ＰＤ＝ｘ２＋ＰＢ２&＝ｘ２＋１&∈［１，２］．记总造价为ｆ１（ｘ）万元，据题设有ｆ１（ｘ）＝（ＰＤ２＋１＋１２ＡＤ＋ＡＯ）ａ＝（ｘ２－１２ｘ＋１１４＋３&)ａ＝ｘ－１４(２ａ＋４３１６＋３&)ａ．当ｘ＝１４，即ＢＤ＝１４（ｋｍ）时，总造价ｆ１（ｘ）最小；（２）设ＡＥ＝ｙ，０≤ｙ≤５４，总造价为ｆ２（ｙ）万元，根据题设有ｆ２（ｙ）＝ＰＤ２＋１＋ｙ２＋３&＋１

6、２3２－１４则ｆ′２（ｙ）＝ｙｙ２＋３&－１２ａ，由ｆ′２（ｙ）＝０，得ｙ＝１；当ｙ∈（０，１）时，ｆ′２（ｙ）＜０，ｆ２（ｙ）在（０，１）内是减函数；当ｙ∈(１，５４)时，ｆ′２（ｙ）＞０，ｆ２（ｙ）在(１，５４)内是增函数．故当ｙ＝１，即ＡＥ＝１时总造价ｆ2(ｙ）最小，且最小总造价为６７１６ａ万元；（３）不存在这样的点Ｄ′、Ｅ′．事实上，在ＡＢ上任取不同的两点Ｄ′、Ｅ′．为使总造价最小，Ｅ显然不能位于Ｄ′与Ｂ之间．故可设Ｅ′位于Ｄ′与Ａ之间，且ＢＤ′＝ｘ１，ＡＥ′＝ｙ１，０≤ｘ１＋ｙ２≤３２，总造价为Ｓ万元，则

7、Ｓ＝ｘ２１－ｘ１２＋ｙ２１＋３&－ｙ１２＋１１４+ａ．类似于（１）、（２）讨论知，ｘ２１－ｘ１２≥－１１６，ｙ２１＋３&－ｙ１２≥３２，当且仅当ｘ１＝１４，ｙ１＝１同时成立时，上述两个不等式等号同时成立，此时ＢＤ′＝１４，ＡＥ＝１，Ｓ取得最小值６７１６ａ，点Ｄ′、Ｅ′分别与点Ｄ、Ｅ重合，所以不存在这样的点Ｄ′、Ｅ′，使沿折线ＰＤ′Ｅ′Ｏ修建公路的总造价小于（２）中得到的最小总造价．类型三最省钱车速问题例３统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量ｙ（升）关于行驶速度ｘ（千米／小时）的函数解析式可以表示为：ｙ

8、＝１１２８０００ｘ３－３８０ｘ＋８（０＜ｘ≤１２０）．已知甲、乙两地相距１００千米．（１）当汽车以４０千米／小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（２）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？分析要求确定从甲地到乙地要耗油量，这就涉及行驶时间与车速，因此根据题意先写出耗油量与车速间的关系，再利用导数知识确定其最小值．解（１