高等代数二次型习题精解

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1、第五章二次型一、习题参考解答1．用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。1）；2）；3）；4）；5）；6）；7）。解1）已知，先作非退化线性替换（1）则，再作非退化线性替换（2）则原二次型的标准形为，最后将（2）代入（1），可得非退化线性替换为（3）于是相应的替换矩阵为，且有。2）已知，由配方法可得，于是可令，则原二次型的标准形为，且非退化线性替换为，相应的替换矩阵为，且有。（3）已知，由配方法可得，于是可令，则原二次型的标准形为，且非退化线性替换为，相应的替换矩阵为，且有。（4）已知，先作非退化线性替换，则，再作非退化线性替换，则，再令，则原二次型的标准形为

2、，且非退化线性替换为，相应的替换矩阵为，且有。（5）已知，先作非退化线性替换，则，再作非退化线性替换，即，则原二次型的标准形为，且非退化线性替换为，相应的替换矩阵为，且有。（6）已知，由配方法可得，于是可令，则原二次型的标准形为，且非退化线性替换为，故替换矩阵为，且有。（7）已知，由配方法可得，于是可令，则原二次型的标准形为，且非退化线性替换为，相应的替换矩阵为，且有。（Ⅱ）把上述二次型进一步化为规范形，分实系数、复系数两种情形；并写出所作的非退化线性替换。解1）已求得二次型的标准形为，且非退化线性替换为，（1）在实数域上，若作非退化线性替换，可得二次型的规范形为。（2）在复数域上

3、，若作非退化线性替换，可得二次型的规范形为。2）已求得二次型的标准形为，且非退化线性替换为，故该非退化线性替换已将原二次型化为实数域上的规范形和复数域上的规范形。3）已求得二次型的标准形为，且非退化线性替换为，（1）在实数域上，上面所作非退化线性替换已将二次型化为规范形，即。（2）在复数域上，若作非退化线性替换。可得二次型的规范形为。（3）已求得二次型的标准形为，且非退化线性替换为，（1）在实数域上，若作非退化线性替换，可得二次型的规范形为。（2）在复数域上，若作非退化线性替换，可得二次型的规范形为。（5）已求得二次型的标准形为，且非退化线性替换为，（1）在实数域上，若作非退化线性

4、替换，可得二次型的规范形为。（2）在复数域上，若作非退化线性替换，可得二次型的规范形为。6）已求得二次型的标准形为，且非退化线性替换为。（1）在实数域上，若作非退化线性替换，可得二次型的规范形为。（2）在复数域上，若作非退化线性替换，可得二次型的规范形为。7）已求得二次型的标准形为，且非退化线性替换为。（1）在实数域上，上面所作非退化线性替换已将二次型化为规范形，即。（1）在复数域上，若作非退化线性替换，可得二次型的规范形为。2．证明：秩等于的对称矩阵可以表成个秩等于1的对称矩阵之和。证由题设知且，于是存在可逆矩阵使，且为对角阵，又因为均为可逆矩阵，所以有，其中于是。因，且。即都是

5、对称矩阵，故可表成个秩为1的对称矩阵之和。3．证明：与合同，其中是的一个排列。证题中两个矩阵分别设为，与它们相应的二次型分别为，，作非退化的线性替换，则可化成。故与合同。4．设是一个阶矩阵，证明：1）是反对称矩阵当且仅当对任一个维向量，有。2）如果是对称矩阵，且对任一个维向量有，那么。证1）必要性。因为，即，所以由于，故。充分性。因为，有，即，这说明原式是一个多元零多项式，故有，即。2）由于是对称的，且，即，这说明为一个多元零多项式，故有，，即。5．如果把实阶对称矩阵按合同分类，即两个实阶对称矩阵属于同一类当且仅当它们合同，问共有几类？解实对称矩阵与合同的充要条件为存在可逆矩阵与使

6、。下面考虑对角矩阵的相应二次型的合同分类情况，在中可分为共计个合同类。但秩又可分别取，故共有个合同类。6．证明：一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是：它的秩等于2且符号差等于0，或者秩等于1。证必要性。设，其中均为实数。1）若上式右边的两个一次式系数成比例，即不失一般性，可设，则可作非退化线性替换使二次型化为，故二次型的秩为1。2）若两个一次式系数不成比例，不妨设，则可作非退化线性替换，使。再令，则二次型可化为，故二次型的秩为2，且符号差为0。充分性。1）若的秩为1，则可经非退化线性替换使二次型化为，其中为的一次齐次式，即，且。2）若的秩为2，且符

7、号差为0，则可经非退化线性替换使二次型化为，故可表成两个一次齐次式的乘积。7．判断下列二次型是否正定：1）；2）；3）；4）。解1）二次型的矩阵为，因为，故原二次型为正定二次型。2）二次型的矩阵为，因为，所以原二次型非正定。3）记二次型的矩阵为，其中，即，由于的任意阶顺序主子式所对应的矩阵与为同类型的对称矩阵，且，故原二次型为正定二次型。4）记二次型的矩阵为，则的级顺序主子式为，故原二次型为正定二次型。8．取什么值时，下列二次型是正定的：1）2）解1）二次型的矩阵为，