高等代数二次型

《高等代数二次型》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第五讲二次型一、二次型的概念及标准形1、二次型的概念及几种表述数域上的元二次齐次函数称为数域上的元二次型。有以下几种表述方式：（1）；（2）；（3），其中，，且，并称为二次型的矩阵。2、矩阵合同（1）设若存在可逆矩阵，使，则称是合同的。（2）合同是矩阵间的一种等价关系。（3）二次型经过非退化的线性替换仍变为二次型，且新老二次型的矩阵是合同的。3、标准形（1）二次型称为标准形。（2）任何二次型都可以通过非退化线性替换化成标准形。（3）任何对称矩阵都合同于一个对角阵。4、复数域上二次型的规范形（1）复二次型，其中，称为复数域上的规范形。（2）任何复二次型都可

2、以通过非退化线性替换化成规范形，其中，且规范形是唯一的。（3）任何复对称矩阵都合同于对角阵，其中。（4）两个复对称矩阵合同的充要条件是秩相等。5、实数域上二次型的规范形（1）实二次型，其中，称为实数域上的规范形。（2）任何实二次型都可以通过非退化线性替换化成规范形，其中，是正惯性指数，且规范形是唯一的。（3）惯性定理任何实二次型经过非退化线性替换化成的标准形中，正平方项的个数和负平方项的个数是唯一确定的，在实二次型的标准形中，称为正惯性指数，称为负惯性指数，称为符号差，且。一、正交阵、实对称阵的正交化标准形1、正交阵（1）。（2）正交阵的等价定义有：，是

3、正交阵；是正交阵；是正交阵。（3）是正交阵，则。（4）是正交阵，则的特征值的模为1；如果正交阵有实特征值，则只能为。（5）正交矩阵可以对角化，即存在复可逆矩阵，使，其中为的全部特征根，且。2、施密特正交化方法：设线性无关，（1）正交化：令，；（2）单位化：令；（3）令，则为正交矩阵。1、实对称矩阵的标准形（1）实对称矩阵的特征值均为实数；（2）属于实对称矩阵的不同特征值的特征向量必正交；（3），则存在正交矩阵，使得。（4）任一实二次型，其中，则存在正交变换，使，是的全部实特征值。一、正定二次型1、正定二次型（1）设实二次型，其中，则下列条件都是正定二次型

4、的等价条件：对任意实向量，都有；存在实可逆阵，使，其中，；的正惯性指数与秩都等于；的特征值全为正；合同于；的一切主子式都大于0；的一切顺序主子式都大于0。（2）当实二次型是正定二次型时，称为正定阵，因此上面这此条件也是正定阵的等价条件。2、负定二次型（1）设实二次型，其中，则下列条件都是负定二次型的等价条件：对任意实向量，都有；存在实可逆阵，使，其中，；的负惯性指数与秩都等于；的特征值全为负；合同于；是正定二次型；的一切奇数阶主子式都小于0，的一切偶数阶主子式都大于0；的一切奇数阶顺序主子式都小于0，的一切偶数阶顺序主子式都大于0。（1）当实二次型是负定

5、二次型时，称为负定阵，因此上面这此条件也是负定阵的等价条件。2、半正定二次型（1）设实二次型，其中，则下列条件都是半正定二次型的等价条件：对任意实向量，都有；存在实可逆阵，使，其中，；的正惯性指数与秩相等；的特征值全非负；的一切主子式都非负；存在实矩阵，使得。（2）当实二次型是半正定二次型时，称为半正定阵，因此上面这此条件也是半正定阵的等价条件。4、半负定二次型，类似半正定二次型可以表述。5、不定二次型（1）设实二次型，其中，若存在两个实向量和，使得且。则称为不定二次型。（2）不定二次型的矩阵的特征值必有正有负。