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1、第五章二次型§1二次型及其矩阵表示一、二次型及其矩阵表示设P是一个数域,一个系数在P中的的二次齐次多项式(1)称为数域P上的一个n元二次型,简称二次型.令由于,所以二次型(1)可写成其系数排成一个矩阵(2)它称为二次型的矩阵.因为,所以,这样的矩阵是对称矩阵,因此,二次型的矩阵都是对称的.令或.(3)20例1写出的矩阵及矩阵形式.注意二次型(1)的矩阵A的元素,当时正是它的项的系数的一半,而是项的系数,因此二次型和它的矩阵是相互唯一决定的.由此可得,若二次型,且,则.定义1设是两组文字,系数在P中关系式(4)称为由到的一个线性替换,或简称线性替换.如果系数行列式,那么线性替换(4
2、)就称为非退化的.线性替换把二次型变成二次型.令,于是线性替换(2)可以写成或者.经过一个非退化的线性替换,二次型变成二次型,替换后的二次型与原二次型之间有什么关系?下面就来讨论.20二、矩阵的合同关系设是一个二次型,作非退化线性替换得到一个的二次型,因容易看出矩阵也是对称的,由此即得.这是前后两个二次型的矩阵间的关系。定义2数域P上两个n阶矩阵A,B称为合同的,如果有数域P上可逆的矩阵,使得.因此,经过非退化的线性替换,新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的.合同是矩阵之间的一个关系,具有以下性质:1)自反性:任意矩阵A都与自身合同.2)对称性:如果B与A合同,那么A与B合同.
3、3)传递性:如果B与A合同,C与B合同,那么C与A合同.特别指出,在变换二次型时,总是要求所作的线性替换是非退化的.从几何上看,这一点是自然的,因为坐标变换一定是非退化的(为什么？).一般地,当线性替换Y=CX是非退化时,可得,它也是一个非退化线性替换,它把所得的二次型还原.这样就可从所得二次型的性质推知原二次型的一些性质.作业:P232:1写出二次型(1)-(4)的矩阵.20§2标准形一、二次型的标准型及配方法二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型.（1）定理1数域P上任意一个二次型都可以经过非化线性替换变成平方和(1)的形式.证明对n进行归纳证明.n=1时,是(1)的形式
4、,假定n-1元的二次型定理成立.对n的情形,设,分三种情形讨论.(1)中至少一个不为零.不妨,这时===，其中是的二次型.令,即,这是一个非退化的线性替换,它使20.由归纳假设,有非退化的线性替换使,于是非退化的线性替换使==.这时定理成立.(2),且至少有一个,不妨设.令,它是一个非退化的线性替换,在它之下，上式是关于的二次型,属于(1)的情形,此时定理成立.(3),此时是n-1元的二次型,由归纳假设定理成立.二次型经非退化线性替换所变成的平方和称为的标准形.20例2化二次型成标准形.二、化对称矩阵为对角矩阵由知,二次型(1)的矩阵是对角矩阵.反过来,矩阵为对角形的二次型也是(
5、1)的形式.按上一节的讨论，经过非退化的线性替换，二次型的矩阵变到一个合同的矩阵，因此用矩阵的语言,定理1可以叙述为：定理2在数域P上,任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.即对于任意一个对称矩阵A都可以找到一个可逆矩阵C使成对对角形矩阵.1.这时的变量替换为令,则上述变量替换相应于合同变换,为计算,可令.于是A和可写成分块矩阵,这里为的转置,20为n-1级单位矩阵.这样矩阵是一个对称矩阵,由归纳法假定,有可逆矩阵使为对角形,令,于是,这是一个对角矩阵,我们所要的可逆矩阵就是.2.但只有一个.这时,只要把A的第一行与第行互换，再把第一列与第列互换，就归结成上面的情形,根据初等矩阵与
6、初等变换的关系,取显然.矩阵就是把A的第一行与第i行互换,再把第一列与第i列互换.因此,左上角第一个元素就是,这样就归结到第一种情形.3.但有一20与上一情形类似,作合同变换可以把搬到第一行第二列的位置，这样就变成了配方法中的第二种情形.与那里的变量替换相对应，取,于是的左上角就是,也就归结到第一种情形.4.由对称性,也全为零.于是,是级对称矩阵.由归纳法假定,有可逆矩阵使成对角形.取,就成对角形.作业:P232:1(I)(1)-(3).§3唯一性经过非退化线性替换,二次型的矩阵变成一个与之合同的矩阵.由第四章§4定理4,合同的矩阵有相同的秩,这就是说,经过非退化线性替换后,二次
7、型矩阵的秩是不变的.标准形的矩阵是对角矩阵,而对角矩阵的秩就等于它对角线上不为零的平方项的个数.因之,在一个二次型的标准形中,系数不为零的平方项的个数是唯一确定的,与所作的非退化线性替换无关.二次型矩阵的秩有时就称为二次型的秩.1.复二次型的唯一性.20设是一个复系数的二次型，由本章定理1，经过一适当的非退化线性替换后,变成标准形,不妨假定化的标准形是.(1)易知r是的矩阵的秩.因复数总可以开平方,再作一非退化线性替换(2)(1)就变成(3)(3)称为复二次型的规范形.显然,规范
