南京工业大学概率统计复习概要(考试必备)

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1、概率论概要（2007－12－22）一事件与概率1随机试验，随机事件及其运算。在一定条件下，其结果不能预先确定而可以重复进行的试验称为随机试验。随机试验的每一个可能结果称为基本事件或样本点，全体可能结果称为样本空间。随机事件A时由若干个基本事件组成，即样本空间的子集：。而全空间称为必然事件，空集称为不可能事件.事件A发生的可能性的度量称为这个事件的概率，记为。事件的关系与运算以下引进事件的关系和运算.既然事件是集合，故事件也遵守集合运算的规则.以下设为事件.“事件在某次试验中发生”，用集合论的语言就是，其中为这次试验的结果.包含关系意味：发生，必发生.即.并意味：发生或发生。即.交意味：，

2、同时发生。即.差意味：发生但不发生。即.对立事件，即不发生.若，称,互不相容，即,不可能同时发生.这时可记.（一般记，不论是否相容）运算规律交换律.结合律.分配律.对偶律.对偶律可以推广到有限或无限个事件的情形，例如，对事件有,上面的其他运算规律也有类似的推广。2事件与概率的数学定义，概率空间的概念（柯尔莫哥洛夫公理体系）一般来讲，我们所关心的事件随着目的和场合的不同而不同，就是在同一样本空间中，各种各样的事件族都可能成为被考察的对象.在概率论中，事件族要求满足如下公理：公理1.11);182)若，则；3)若，则；同时满足三个公理的事件族称为代数.我们还容易知道有如下性质：4)（因为）；

3、5)若则（由对偶律）.确定好我们关心的事件族代数后，再去考虑中事件发生的概率（或称概率测度）.事件发生的概率记为（直观上，表示事件发生的可能性），要求它满足如下公理：公理1.21)；2)=1;3)完全可加性：若,且互不相容，则由公理1.2容易推出4）（在3）中令，即可）；5）有限可加性：若,且互不相容，则（在3）中令，即可）三者的结合物称为概率空间。以上是柯尔莫哥洛夫提出的概率空间的公理体系。柯尔莫哥洛夫公理体系同现代的几何基础公理体系不去界说诸如点，线，面这些几何基本元素一样，着眼于规定事件与事件的概率的最基本的性质与关系，而不去解释它们的现实背景与含义；将概率论建立在坚实的数学基础之

4、上.3概率的其他性质1）加法公式2）连续性。对任意单调上升或单调下降的事件列有其中（上升情形）或(下降情形)。184条件概率。若,则称为已知A发生的条件下事件B的条件概率。条件概率的性质：1）函数满足概率的三条公理,称三元组为条件概率空间。2）乘法公式3）全概公式与逆概公式若事件不相容且它们至少有一个发生（即，则5独立性称事件独立，若。称事件独立，若对任意和有6独立试验序列设一次试验中事件A发生的概率为（即）作n次独立重复试验，事件A发生的次数记为X，则，二随机变量及其分布1随机变量及其分布函数设为概率空间,为定义在其上的实函数,如果对任一实数,有18(*)则称为随机变量.(初学者仅需理

5、解随机变量为试验结果的函数，而“可测性”条件(*)是数学上的要求，不必深论).其次令,(可简记为)称为随机变量的分布函数.以后事件常常简记为.为计算与随机变量有关的各个事件的概率,我们不必深入到较为抽象的概率空间中去，而可通过具体的实变元实函数进行.因此,数学分析一切工具都可运用,这就是引进分布函数的好处.分布函数具有如下性质1)单调不减:如果,则.2)右连续：.3).4).且，，2离散型随机变量离散型随机变量X是仅可能取有限个或者可列个值的随机变量.设X可能取的值为：.它取各个值的概率,即概率分布为:.还可以列为概率分布表:显然有1）;182).又离散型随机变量X的分布函数显然为=,.

6、它是阶梯函数.3连续型随机变量如果存在非负可积函数，使对，都有（1）我们称这样的随机变量X为（绝对）连续型随机变量；称p(x)为它的概率密度函数，简称为密度.显然具有如下性质：1)p(x)≥0−∞

7、随机变量，并研究它们之间的关系.整体可看成是定义于样本空间，取值于n维欧氏空间的函数；我们称X(ω)（简写为X）为n维随机向量或值随机变量.设为任意实数，显然18为事件（即F中的元）；它的概率记为或简写为，并称这个n元函数为随机变量的联合分布函数（或随机向量X的分布函数）.即（1）以下较详细地讨论二维情形（其中大多结果可推广到维情形）.这时，分布函数.仿照一维情形可证：联合分布函数具有如下性质：1)在如下的意义下单调不减：若a1≤b