概率和统计基础必备

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1、统计与概率基础Iff1•排列公式：A：=—(规定：01=1)(n-m)l特别：A；；=n!,这个是排列公式记忆的特值法的公式，即当m=n时的排列值.2•组合公式：C：：=——-—(规定：C：=l)特别：C：仝,这个是组合公式记忆的特值法的公式.An3•组合性质：(1)c：=C:T⑵cue;：-】4•二项式定理：(a+b)n=C：a”+Clnatl~lb+C^an~2b2+...+Crnan~rbr+...+C；：b“即：(a+b)“=》C：arr=0其中：c；(「=0,人2,・・“)叫二项式系数，cy

2、-rbr叫二项式展开式的通项.特别：(I+Q”=2”=C》+C：+C：+・・・+C：：5.方差与标准差：(1)标准差:(X]—x)2+(x2—x)2+••・+(Xn—x)2n(2)方差.S2-["心一可2+(£一丘尸+・・・+(兀"一可彳]n6•频率和概率(1)相同条件下重复n次试验，事件A出现次数心为事件A出现的频数.£(A)=^-n为事件A出现的频率.⑵事件A出现的频率£(4)稳定于某个常数P(A),称为事件A出现的概率.⑶区别与联系：频率是概率的近似值；频率是随机的；概率是一个确定的数；两者都介

3、于0〜1之间.⑷随机事件的概率公式：若一次试验共有n种等可能出现的结果。其中事件A包含的结果有m种，则事件A的概率为P(A)=—n这里，fn(A)=^表示的是频率，P(A)=-表示的是概率.nn7•概率的几个基本性质①概率的取值范②必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0③若事件A和事件B互斥，则P(AB)=P(A)+P(B),为概率的加法公式④若事件A和事件B对立，则P(AB)=l9从而P(A)=1-P(B)⑤相互独立事件同时发生的概率：P(AB)=P(A)P(B)在概率计算中，经常会用到对立事件的

4、概念.&古典概型在随机试验中，若所有可能出现的事件有限，且事机会相等，这种概率模型称为古典概型.对于古典概型，事件A的概率为：p(心A包含的基本事件的个数基本事件的总数9.几何概型如果每个基本事件发生的概率与该事件区域的大小成比例，这种概率模型称为几何概型.对于几何概型，事件A的概率为：P(A)=A的区域大小试验结果所构成的全部区域10.条件概率设A、B为两事件，且P(A)>09则在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为条件概率•记为“斫鬻ll.n次独立重复试验在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数

5、为X,在每次试验中事件A发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为：p(X=k)=C：pk(l_p),l-kk=0丄2,・・・,n12.离散型随机变量X的分布列若离散型随机变量X的分布列为X•••Xi•••PP1P1••♦Pi•••Pn数学期望：离散型随机变量的均值称数学期望.则称E(X)=XjPj4-x2p2++...+xnpn为离散型随机变量X的均值或数学期望.⑴满足Pi>0(概率必不小于0)⑵满足土卩严1(概率的总和为1)k=l13.离散型随机变量的方差和标准差对离散程

6、度加权平均，反映随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度・D(X)称为随机变量X的方差.D(X)=^(Xi-E(X))2Pii=l其算术平方根厲面为随机变量X的标准差，记作b(X)・14、几种常见的离散型随机变量的分布⑴两点分布；⑵几何分布；⑶超几何分布；⑷二项分布；⑸正态分布.15、两点分布若随机变量X的分布列为两个状态，0和1,对应这两个状态的概率为(l-p)和p,则称这样的分布列为两点分布列.X01Pl-pp这里X只有两点取值，0和1,这就是两点分布列.数学期望：E(X)=£刃+兀2卩2+・・・

7、+£□+・・・+兀必=P方差：D(X)=^xi-E(X))2pi=(0-p)2(l-P)+(l-p)2p=p(l-P)i=l例如：抛硬币.硬币只有正反两面，所以概率是两点分布.其出现正面的概率是乙出现反面的概率是(7-卩)=£・出现正面的数学期望是E(X)=p=^-Z方差D(X)=p(l-p)=&416、几何分布若随机变量X的分布列如下：X123•••nppU-p)p(1-p)2p•••分布列以几何级数的形式分布，所以称为几何分布列.数学期望：E(X)=XjPj+x2p2+・・・+XiPi+・・・+兀

8、必=p+2p(l—p)+3p(I—p)2+...+np(l—p)w_/=+2(7-p)+3(7-pF+・・・+班7-卩严]=pU+2g+3『+・・・+nq11-1]qSn=g+2q2+3q3+...+nq即：—=Stl=[l+2q+3q2^...+nqn~l],两式相减得：(1—q)S”=1+q+『+・・・+g"J—nq11=—nqtli_qnq"故：恥正矿k-一-7则：E=pSn=^--^因为q=1一p<1，当“T+oo时，ET—故：几何分布列的数学期