种群动力学模型解的振动性和渐近性

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1、第13卷第1期生物数学学报Vol.13No.119983,年月JOURNALOFBIOMATHEMATICSMar1998种群动力学模型解的振动性和渐近性关‘“3冯滨鲁李光华俞元洪,,(1山东矿业学院荃础部泰安271019)(2湖南财经学院数学系长沙410006)(3中国科学院应用数学研究所,北京10080)摘要本文考虑当环境的容纳量为单调或者振动时,单种群增长模型解的振动性和渐近性,所得定理推广了文献〔5]中的结果.关键词单种群模型容纳蚤振动性1引言单种群增长模型通常可用常微分方程来表示全=(x,K(t)),x(0)=xo0,(.1xf)1)其中

2、K(t)是环境的容纳量.如果,,K(t)二K为一常数即环境容纳量不变此时在适当假设下,x二K是一全局渐近稳定的平衡点.然而环境很少是不变的,因此一些作者[‘一3〕考虑了方程(1.1)的某些特殊形式,例如Loglstic方程和K(t)是周期函数的情形,注意到容纳量不大可能是严格周期的,最近文献【51研究了概周期容纳量的情况.本文将考虑两种情况:(门环境是,;;单调变化的即单调增加的或单调减少的(1)环境变化是振动的我们在后一种情况推广了文献【5」的结果.:我们作如下假设[’l,,,十,,,(He)f(xK(t))〔Cl(RxR)R二(0+co)使得初

3、值问题的解存在唯一且连;续,‘,,,(H)K任e(尺)0<。簇K(t)簇Mo,鲜O,f(K。(‘),二K(t))=o,x‘eR。十,t‘eR口·、,‘、、,,,’纷’’了,艺a器K一e一一下面给出一些定义和附加假设定1.1函数甲,沪.义(t)称为关于函数必(t)振动如果函数(t)一沪(t)有任意大的零点定义1·2若函数*(t)关于某一常数‘振动,且设A(,)三赎s叩*(‘)一短‘nf甲(‘),则称p甲.A()为函数(t)的振幅,(玩)存在T>0使得t

4、)T时大(t)共0;,(氏):K(约为最终非单调且满足n,.limifK(t)=走)。>olimsupK(t)=万镇M0c>00

5、调容纳量本节我们假设(场)一(H3)成立,即K(t)是最终严格增加或减少,首先证明方程(l.1)的每一个解是最终大于K(t)或小于K(t),并且渐近地趋向于t.K()定理2.1设(氏)一(3)成立,1.1)的每一个解x(t)最终满足x>K(t),H则方程((t)或,,者最终有x(t)(K(t)并且x(t)渐近趋向于K(t)即limIx(t)一K(t)l=0.,3)可设存在,tT>0.l,k>O证首先利用(HT>O使当)时大(t)又由(H)知存在使得limK(t)=k(.12)则当t)T时有K())T则利用(

6、姚)和方程()有,,,全(t)=x(t)f(x(t)K(t))(0t)T,,因此当t)丁时x(t)是减函数且limx(t)=l)k.(2.2)可以断言l二k.(2.3),否则还有,x(t))l>k)K(t)t)T和,,,全(t)(lf(lk)<0t)T故有x(t)(x(0)+lf(l,k)t~一co,t~.co上式与x(t))l>0矛盾.,t。)T使得x(t。)t。使得x(z,)=K(t,)且x(t)t,t任[t。,tl.(K()]由方程(1.1)和(玩)得全(t

7、l)=x(tl)f(x(t:),K(tl))=0..t,)上式与大(>0矛盾,,,,如果存在t。)丁使得二(t。)=兀(t。)则有全(20)=o<大(t。)因此存在t,>t。使得,,xt:K(t)的情形故生物数学学报第13卷此删去.对于最终有大(t)0(<0)且存

8、在序列弋}军当一,,,tnco时~co使得当一co时有‘二,十:十;一一+,.习f(K()狡(“))(““)~co(co)