专题六 第一讲 排列与组合、二项式定理

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1、专题六概率与统计第1讲　排列与组合、二项式定理自主学习导引真题感悟1．(2012·安徽)(x2＋2)5的展开式的常数项是A．－3　　　　B．－2　　　　C．2　　　　D．3解析　第一个因式取x2，第二个因式取得：1×C(－1)4＝5，第一个因式取2，第二个因式取(－1)5得：2×(－1)5＝－2展开式的常数项是5＋(－2)＝3.2．(2012·大纲全国卷)6名选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有A．240种B．360种C．480种D．720种解析　解法一　甲先安排在除开始与

2、结尾的位置有C个选择，剩余的元素与位置进行全排列有A种，故不同的演讲次序共有CA＝480种．解法二　若不考虑元素甲的特殊性，共有A中演讲次序，其中甲在第一个演讲的有A种，甲在最后一个演讲的也有A种，故不同的演讲次序共有A－A－A＝480(种)．考题分析考查排列与组合的题目高考中多以小题的形式出现，与两个计数原理综合应用；二项式定理的问题常涉及展开式中项的系数，特定项的求法，也可与其他知识交汇命题，如定积分计算，数列知识，方程根的个数等．网络构建高频考点突破考点一：两个原理及其应用【例1】用红、黄、蓝、白、黑五种

3、颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？[审题导引]　颜色可以反复使用，即说明在不相邻的小方格内可以使用同一种颜色，首先确定第一个小方格的涂法，再考虑其相邻的两个小方格的涂法．[规范解答]　如图所示，将4个小方格依次编号为1,2,3,4，第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法．　1234①当第2、第3个小方格涂不同颜色时，有A＝12(种)不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法．由分步计数原理可知，有5×12

4、×3＝180(种)不同的涂法；②当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻两格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步计数原理可知，有5×4×4＝80(种)不同涂法．由分类加法计数原理可得，共有180＋80＝260(种)不同的涂法．【规律总结】涂色问题的解决方法(1)涂色问题没有固定的方法可循，只能按照题目的实际情况，结合两个原理与排列组合的知识灵活处理，其难点是对相邻区域颜色不同的处理，解决的方法往往要采用分类讨论的方法，根据“两个原理”计算．(2)本题也可以考虑对使用的颜色的种数进

5、行分类，如果使用2种颜色，则只能是第1,4涂一种、第2,3涂一种，方法数是CA＝20；若是使用3种颜色，若第1,2,3方格不同色，第4个方格只能和第1个方格相同，方法数是CA＝60，如果第1,2,3方格只用两种颜色，则第4个方格只能用第3种颜色，方法数是C×3×2＝60；如果使用4种颜色，方法数是CA＝120.根据加法原理总的涂法种数是260.[易错提示]　在涂色问题中一定要看颜色是否可以重复使用，不允许重复使用的涂色问题实际上就是一般的排列问题，当颜色允许重复使用时，要充分利用“两个基本原理”分析解决问题．【

6、变式训练】1．某次活动中，有30个人排成6行5列，现要从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为________(用数字作答)．解析　其中最先选出的一个有30种方法，此时这个人所在的行和列不能再选人，还剩一个5行4列的队形，选第二个人有20种方法，此时该人所在的行和列不能再选人，还剩一个4行3列的队形，此时第三个人的选法有12种，根据分步乘法计数原理，总的选法种数是30×20×12＝7200.答案　7200考点二：排列与组合【例2】(1)(2012·海淀一模)从甲、乙等5个人

7、中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是A．12　B．24　C．36　　　D．48(2)(2012·深圳模拟)值域为{2,5,10}，其对应关系为y＝x2＋1的函数的个数为A．1B．27C．39D．8[审题导引]　(1)分“选甲”与“不选甲”两类进行讨论；(2)根据函数的值域，求出函数定义域中可能包含的元素，分类讨论确定其定义域．[规范解答]　(1)若选甲，则有AA种排法；若不选甲，则有A种排法，则共有AA＋A＝48(种)．(2)分别由x2＋1＝2，x2＋1＝5，x2＋1＝10解得x＝±1，x＝±2，x＝±

8、3，由函数的定义，定义域中元素的选取分四种情况：①取三个元素：有C·C·C＝8(种)；②取四个元素：先从±1，±2，±3三组中选取一组C，再从剩下的两组中选两个元素C·C，故共有C·C·C＝12(种)；③取五个元素：C＝6(种)；④取六个元素：1种．由分类计数原理，共有8＋12＋6＋1＝27(种)．[答案]　(1)D　(2)B【规律总结】排列、组合问题的解法解排列组合综合应用题要从“分