浅谈导数在解决实际问题中的应用开题报告

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1、浅谈导数在解决实际问题中的应用开题报告开题报告浅谈导数在解决实际问题中的应用一、选题的背景与意义15世纪文艺复兴以后的欧洲,资本主义逐渐发展,采矿冶炼、机器发明、商业交往、枪炮制造、远洋航海、天象观测等大量实际问题,给数学提出了前所未有的亟待解决的新课题.其中有两类问题导致了导数概念的产生:一是求变速运动的瞬时速度;二是求曲线上一点处的切线.这两类问题都有归结为变量变化的快慢程度,即变化率问题.牛顿从第一个问题出发,莱布尼兹从第二个问题出发,分别给出了导数的概念.求变速运动的瞬时速度通常人们所说的物体的运动速度,是指物体在一段时间内的平均速度.例如:一

2、汽车从甲地出发到达乙地,全程120千米,行驶4小时,则汽车行驶的平均速度是30千米/小时.事实上,汽车并不是每时每刻都以30千米/小时的速度行驶,这是因为,下坡时会跑得快些,上坡时会跑得慢些,也可能中途停车,等等,即汽车每时每刻的速度是变化的.一般来说平均速度不能反映汽车在某一时刻的瞬时速度.随着科学技术的发展,我们仅仅知道物体运动的平均速度是不够的,还要知道物体在某一时刻的瞬时速度.例如:研究子弹头的穿透能力必须知道弹头接触目标的瞬时速度.求曲线上一点处的切线斜率斜率导数是微积分中的重要基础概念.当自变量的增量趋于零时,因变量的增量与自变量的增量之商

3、的极限.在一个函数存在导数时,称这个函数可导或者可微分.可导的函数一定连续.不连续的函数一定不可导.导数实质上就是一个求极限的过程,导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则.导数在实际应用方面有重要意义,物理学、经济学、几何学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示.譬如:导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度(就匀直加为例,位移关于时间的一阶导数是速度,二阶导数是加速度)、可以表示曲线在一点的斜率(矢量速度的方向)、还可以表示经济学中的边际和弹性.二、研究的基本内容和拟解决的主要问题本文的主要目的是通过查阅各种相关文献,寻找各种相关信息,来得到并了

4、解导数的概念和定义,并且通过导数解决一些实际应用问题.本论文首先引出一些关于导数的概念.以下是有关概念:定义1设函数在点的某邻域内有定义,若极限1存在,则称函数在点处的导数,记作.令,,则1式可改写为2所以,导数是函数增量与自变量增量之比的极限.这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率又称差商,而导数则为在处关于的变化率.若1或2式极限不存在,则称在点处不可导.定义2设函数在点的某右邻域上有定义,若右极限存在,则称该极限值为在点的右导数,记作.右导数和左导数统称为单侧导数.若函数在区间上每一点都可导对区间端点,仅考虑相应的单侧导数,则称为上的可导函数.

5、此时对每一个,都有的一个导数或单侧导数与之对应.这样就定义了一个在上的函数,称为在上的导函数,也简称为导数.记作,或,即,.在物理学中导数也常用牛顿记号表示,而记号是莱布尼茨首先引用的.目前我们把看作为一个整体,也可以把它理解为施加于的求导运算,待到学过“微分”之后,我们将说明这个记号实际上是一个“商”.相应于上述各种表示导数的形式,有时也写作或.定义3若函数在点的某邻域内对一切有,,则称函数在点取得极大小值,称点为极大小值点.极大值、极小值统称为极值,极大值点、极小值点统称为极值点.利用导数求函数极最值这类问题的方法是:1用求导法求出函数导数.2令导

6、数等于,得出驻点及其不可导点.3用这些点把区间分成几个部分,然后讨论函数的单调性.4求出极值点.5求出区间端点值与极值进行比较,得到最值.通过导数的定义,我们将利用导数的思想把导数应用到实际问题中.首先我们先叙述一下导数在物理学中的应用.数理不分家,导数在物理中有着广泛的应用.从实际问题抽象出数学模型后,抛弃物理背景,用导数方法处理,既可减少物理思维难度,又能开辟数学的应用天地.我们可以利用导数求速度和加速度,求感应电动势,求瞬间电流,对连接体进行速度的分解等等.解决非匀变速直线运动的物体的瞬时速度及瞬时加速度的问题,就只能利用导数处理.如果物体按的规

7、律作直线运动,则物体在时刻的瞬时速度,也叫位移在时刻对时间的变化率:在时刻的瞬时加速度.例如:物体做直线运动,位移对时间的变化规律为,求物体运动的加速度和初速度各为多少?由定义有.初速度是指时刻的速度,将代入上式有:,.此题通常的求法是根据匀位移公式比较系数求出加速度和初速度.在解决一些非均匀物体的的问题时,也要利用导数.例如:有一个质量分布不均匀的细杆AB,长20cm,AM段的质量与从A到M点的距离的平方成正比.已知AM2cm时,AM质量为8g.求AB上任一点处的线密度?AB上中点处的线密度?解:依题意得到AM段的质量是AM段的距离的函数关系为:,由

8、于时,,所以故质量对距离的函数关系为:,AB上任一点处的线密度就是质量对距离的导数,即g/mA