浅谈导数在实际问题中的应用

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1、浅谈导数在实际问题中的应用浅谈导数在实际问题中的应用摘要：导数是高等数学中的主要内容之一，是近代数学重要基础，是联系初等数学和高等数学的纽带，其应用非常广泛。导数由于其应用的广泛性，为解决有关函数问题提供了一般性的方法，导数是研究函数的切线、单调性、极值与最值等问题的有力工具；运用它以简捷地解决一些实际问题ApplicationofDerivativeinthePracticalProblemsAbstract:Derivativeisthemaincontentofhighermathemat

2、icsisoneoftheimportantfoundationofmodernmathematicsiselementarymathematicsandadvancedmathematicstocontactthebond,whichiswidelyused.Derivativeduetoitswideapplicationforsolvingproblemsrelatedtoageneralfunctionofthemethodistostudythederivativeofthetange

3、ntfunction,theextremevalueproblemsandthemostpowerfultool;theuseofitcanbesimpletosolvesomepracticalproblem.Inthispaper,basedontheliterature,giventhederivativenatureandstatusoftheresearchfunctionofthenumberofapplications,andtheorywithpractice,studythed

4、erivativeofprofits,resources,containermanufacturing,andchangetheapplicationofroadRelocationtopromotetheresultsoftheliteratureKeywords:derivative;extremum;application1引言导数亦名微商，由速度问题和切线问题抽象出来的数学概念。又称变化率。一般地，假设一元函数在点的附近内有定义，当自变量的增量＝→0时函数增量与自变量增量之比的极限存在且

5、有限，就说函数在点可导，称之为在点的导数（或变化率若函数在区间的每一点都可导，便得到一个以为定义域的新函数，记，称之为的导函数，简称为导数函数在点的导数的几何意义：表示曲在点的切线斜率。单调区间。解函数的定义域，令，其根是1与3，他们将分成三个区间：当或时，;当时，，所以函数的递增区间为和，函数的递增区间为.例2设函数在处取得极值，试用表示和,并求的单调区间。解依题意有,而故，解得从而令，由于在处取得极值，故1，即，分以下两种情形讨⑴若1，即，则当时，当；当时从而的单调增区间为，；单调减区间为.

6、⑵若1，即同上得：的单调递增区间为单调减区间为.利用导数判断函数的单调性，因为函数是可导函数，从而它的单调增区间就是0的解，它的单调减区间是x0的解。依据导数在某一区间内的符号来确定函数的单调区间，体现了形象思维的直观性，解决这类问题，如果利用函数的定义来确定的单调区间，运算繁琐，区间也难找准确。此时要注意的是0是为增函数的充分不必要条件而非充要条件。3.2导数在研究函数极值与最值中的应用例3已知函数,求其函数的最大值与最小值。解，对于任意的，最小值最大值.例4[3]若函数在处时有极值，求函数在

7、区间上的最值。解函数的定义域为，因从而取得极值，可知10即解得,0得1或1,当变化时，的变化状态如下表1,-1-1-1,111,+x―0+0―↓极小值-1↑极大值3↓由表1可知，故时，取得极小值为-1，当时，取得极大值3，19,因此时，在上取得最大值19；当-1,在上取得最小值-1.利用导数的性质先求函数的极值，再决定极值是否为最值，设函数在上连续，在可导,求函数在上最大值与最小值的步骤如下：（1）求在内的极值；（2）将的各极值同与比较，确定在最大值与最小值。3.3导数在证明不等式中的应用利用导

8、数证明不等式问题中，应用拉格朗日中值定理，首先找到一个适合函数，看其是否符合拉格朗日中国值定理的条件，符合可尝试应用拉格朗日中值定理；有时可利用导数判断函数单调性的方法，也必须找到一个适当的函数，通过分析其单调性，求题干中不等式。所以在利用导数证明不等式中，通过所选方法，确定适当的函数解决问题是至关重要的。例5证明：.证设函数,则有并且对任意0，对函数在区间上应用拉格朗日中值定理可得其中，又由于，有，同时除以得故不等式成立。例6证明：.证明令，则有从而，所以在单调递增，又所以故不等式成立。3.4