浅谈导数在解决实际问题中的应用文献综述

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1、文献综述浅谈导数在解决实际问题中的应用一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念，综述范围，简要说明有关主题的或争论焦点）本论文的主要目的是通过查阅各种相关文献，寻找各种相关信息，来研究导数在几何、物理及其经济上的一些应用，首先我们来介绍一些概念：定义1　设函数在点的某邻域内有定义，若极限(1)存在，则称函数在点处的导数，记作.令,,则(1)式可改写为(2)所以,导数是函数增量与自变量增量之比的极限.这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率(又称差商),而导数则为在处关于的变化率.若(1)(或(2)式极限不存在,则称在点处不可导.定义2设函数在点的某右邻域上有定

2、义，若右极限存在,则称该极限值为在点的右导数,记作.右导数和左导数统称为单侧导数.若函数在区间上每一点都可导(对区间端点,仅考虑相应的单侧导数),则称为上的可导函数.此时对每一个,都有的一个导数(或单侧导数)与之对应.这样就定义了一个在上的函数,称为在上的导函数,也简称为导数.记作,或,即,.在物理学中导数也常用牛顿记号表示,而记号是莱布尼茨首先引用的.目前我们把看作为一个整体,也可以把它理解为施加于的求导运算,待到学过“微分”之后,我们将说明这个记号实际上是一个“商”.相应于上述各种表示导数的形式,有时也写作或.定义3若函数在点的某邻域内对一切有,,则称函数在

3、点取得极大(小)值,称点为极大(小)值点.极大值、极小值统称为极值,极大值点、极小值点统称为极值点.利用导数求函数极(最)值这类问题的方法是:(1)用求导法求出函数导数.(2)令导数等于,得出驻点及其不可导点.(3)用这些点把区间分成几个部分,然后讨论函数的单调性.(4)求出极值点.(5)求出区间端点值与极值进行比较,得到最值.通过导数的定义，我们将利用导数的思想把导数应用到实际问题中.二、主题部分（阐明有关主题的历史背景，现状和发展方向，以及对这些问题的评述）15世纪文艺复兴以后的欧洲,资本主义逐渐发展,采矿冶炼、机器发明、商业交往、枪炮制造、远洋航海、天象观

4、测等大量实际问题，给数学提出了前所未有的亟待解决的新课题.其中有两类问题导致了导数概念的产生:一是求变速运动的瞬时速度;二是求曲线上一点处的切线.这两类问题都有归结为变量变化的快慢程度,即变化率问题.牛顿从第一个问题出发,莱布尼兹从第二个问题出发，分别给出了导数的概念.1)求变速运动的瞬时速度通常人们所说的物体的运动速度,是指物体在一段时间内的平均速度.例如:一汽车从甲地出发到达乙地,全程120千米,行驶4小时,则汽车行驶的平均速度是30千米/小时.事实上,汽车并不是每时每刻都以30千米/小时的速度行驶,这是因为,下坡时会跑得快些,上坡时会跑得慢些,也可能中途停

5、车,等等,即汽车每时每刻的速度是变化的.一般来说平均速度不能反映汽车在某一时刻的瞬时速度.随着科学技术的发展,我们仅仅知道物体运动的平均速度是不够的,还要知道物体在某一时刻的瞬时速度.例如:研究子弹头的穿透能力必须知道弹头接触目标的瞬时速度.2)求曲线上一点处的切线斜率斜率导数是微积分中的重要基础概念.当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限.在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分.可导的函数一定连续.不连续的函数一定不可导.导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则.导数在实际应用方面有重要意义，物理

6、学、经济学、几何学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示.譬如：导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度（就匀直加为例，位移关于时间的一阶导数是速度，二阶导数是加速度）、可以表示曲线在一点的斜率（矢量速度的方向）、还可以表示经济学中的边际和弹性.首先我们先叙述一下导数在物理学中的应用.数理不分家,导数在物理中有着广泛的应用.从实际问题抽象出数学模型后,抛弃物理背景,用导数方法处理,既可减少物理思维难度,又能开辟数学的应用天地.我们可以利用导数求速度和加速度,求感应电动势,求瞬间电流,对连接体进行速度的分解等等.解决非匀变速直线运动的物体的瞬时速度及瞬时加速度的问

7、题,就只能利用导数处理.如果物体按的规律作直线运动,则物体在时刻的瞬时速度,也叫位移在时刻对时间的变化率：在时刻的瞬时加速度．例如:物体做直线运动,位移对时间的变化规律为,求物体运动的加速度和初速度各为多少?由定义有.初速度是指时刻的速度,将代入上式有:,此题通常的求法是根据匀位移公式比较系数求出加速度和初速度.在解决一些非均匀物体的的问题时，也要利用导数．例如:有一个质量分布不均匀的细杆AB，长20cm，AM段的质量与从A到M点的距离的平方成正比.已知AM=2cm时，AM质量为8g.求AB上任一点处的线密度?AB上中点处的线密度?解:依题意得到AM段的质量是A

8、M段的距离的函数关系为: