24.2与圆有关的位置关系

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1、24.2与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系　Ⅰ　学法导引　与圆有关的位置关系主要包括点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系、圆和圆的位置关系．这些位置关系都有一个共同的特点，即每一种位置关系都具有相应的数量特征，或者说，每一种位置关系都对应着一种数量关系．这种“位置”与“数量”的交织构成了本节学习的主旋律．　同时，对每一种位置关系的深入研究，都会引申出一些重要的结论．因此，学会归纳总结，把零散的知识点“组装”成一个完整的知识系统，是我们学习本节又一个必须面临的问题．　Ⅱ　思维整合　解析重点　1．经过三点的圆　“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，毫无疑问，“不在同一直线上”

2、是结论成立的前提．　另外，大家还须明确三角形外心的两个特征：(1)外心是三角形三边垂直平分线的交点；(2)外心到三角形三个顶点的距离相等．　【例1】　如图24—2—1是一块破残的轮片，试确定它的圆心．　解析　要确定圆心，只需在破残的轮片弧上取不同的三个点，此时轮片的圆心实际上就是这三个点所组成的三角形的外心(这三个点注定不在同一直线上)，而外心就是三角形三边垂直平分线的交点．　解　作法：1．在已知的圆弧上取三点A、B、C．　2．连接AB、BC．　3．分别作线段AB、BC的垂直平分线MN、PQ相交于点O．　则O点就是所求的圆心．　点拨　应用“不在同一直线上的三点确定一个圆”这

3、一结论，可以确定圆心未知的圆(弧)的圆心．　2．切线的判定和性质　判定一条直线是圆的切线，大致有以下两种思路：　(1)利用切线的定义判定．到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线，这种方法多用于直线与圆有无公共点情况不明的状态；　(2)利用切线的判定定理判定．需要注意这里的直线应“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，这两个条件缺一不可．　切线的性质定理也可以作如下改述：“如果一条直线满足以下三个条件中的两条，那么它就必然满足第三条．它们是：(1)垂直于切线；(2)过切点；(3)过圆心”．　【例2】　如图24—2—2，AB是⊙O的直径，D在AB延长线上，BD＝OB，C在圆上

4、，且∠CAB＝30°，　求证：DC是⊙O的切线．　解析　点C是⊙O上的一点，故要证CD是⊙O的切线，只需连接OC，证明OC⊥CD，这一步可通过证∠OCB＋∠BCD＝90°得到．　证明　连接OC，BC．　∵　AB为⊙O的直径，∴　∠ACB＝90°．　∵　∠CAB＝30°，∴　∠ABC＝60°．　又∵　OC＝OB，∴　△BOC是等边三角形．　∵　BD＝OB＝BC，∴　∠BCD＝∠D．　∴　∠OCD＝∠OCB＋∠BCD＝60°十30°＝90°．　∴　DC为⊙O的切线．　点拨　本例中的两条辅助线均为圆的问题中常见的辅助线．　【例3】　(2004年，四川眉山)已知：如图24—2—3，

5、⊙O的半径为6cm，OD⊥AB于D，∠AOD＝AB，AD＝12cm，BD＝3cm．　求证：AB是⊙O的切线．　解析　本题点D是否在⊙O上情况不明，因此是证AB是⊙O的切线，需证O到AB的距离等于6cm．现在已知OD⊥AB于D，故只需证OD＝6cm就可以了．　证明　∵　OD⊥AB，∴　∠B＋∠BOD＝90°．　∵　∠AOD＝∠B，∴　∠AOD＋∠BOD＝90°，即∠AOB＝90°．　在Rt△AOB、Rt△AOD、Rt△BOD中，由勾股定理，知　即O点到AB的距离为6cm(⊙O的半径)．　∴　AB是⊙O的切线．　点拨　本题给予我们的启示有二：一是当直线与圆有无公共点情况不确定时

6、，证明直线是圆的切线该如何思考；二是很多证明题往往通过计算达到证明的目的．　【例4】　如图24—2—4，已知△ABC中，∠BAC＝90°，⊙O分别切AB、AC于点D、E，圆心O在斜边BC上，且AB＝a，AC＝b．　求：⊙O的半径．　解析　连接OD、OE，易知OD⊥AB，OE⊥AC，故四边形ADOE是正方形．而后由面积关系，可求出⊙O的半径．　解　连接OD、OE、OA．　∵　AB、AC是⊙O的切线，　OD⊥AB，OE⊥AC．　∵　∠BAC＝90°，　点拨　作过切点的半径，几乎是有关切线问题必然的辅助线．　3．切线长定理　理解切线长定理，就应该明确以下两点：　(1)切线长和切线

7、是两个本质上截然不同的概念：切线是与圆只有唯一公共点的直线，是一个“图形”；而切线长是经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，这个“长”就是线段的长度，它本质上是一个“数量”．例如，从圆外一点P引圆的切线PA，A为切点，这里的切线指直线PA；而切线长指的是线段PA的长度．　(2)从⊙O外一点P，引⊙O的两条切线PA、PB(A、B为切点)，就构成了以直线PO为轴的一个对称图形，在这个轴对称图形中，PA＝PB，∠APO＝∠BPO．因此可以说，切线长定理是圆的轴对称性的进一步体现．从这种对称的角度看，切线长定