1982年全国统一高考数学试卷(文科)

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1、1982年全国统一高考数学试卷（文科）　一、填空题（共2小题，1小题8分，2小题7分满分20分）1．（8分）填表：　2．（7分）填表：　二、解答题（共7小题，满分85分）3．（10分）求（﹣1+i）20展开式中第15项的数值；　4．（10分）已知，求x2﹣y2的值　5．（10分）以墙为一边，用篱笆围成长方形的场地，并用平行于一边的篱笆隔开（如图），已知篱笆的总长为定值L，这块场地的长和宽各为多少时场地的面积最大？最大面积是多少？　6．（12分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，（1）用平面A1BC1截去一角后，求剩余部分的

2、体积；（2）求A1B和B1C所成的角．　7．（12分）已知定点A，B且AB=2a，如果动点P到点A的距离和到点B的距离之比为2：1，求点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．　8．（15分）求tan9°+cot117°﹣tan243°﹣cot351°的值．　9．（16分）如图，已知△AOB中，OA=b，OB=a，∠AOB=θ（a≥b，θ是锐角），作AB1⊥OB，B1A1∥BA；再作A1B2⊥OB，B2A2∥BA；如此无限连续作下去，设△ABB1，△A1B1B2，…的面积为S1，S2，…求无穷数列S1，S2，…的和．　1982年全国统一高考

3、数学试卷（文科）参考答案与试题解析　一、填空题（共2小题，1小题8分，2小题7分满分20分）1．（8分）填表：考点：函数的定义域及其求法．专题：压轴题．分析：分别按各自函数的定义和性质直接填空即可．解答：解：由题意依据函数的定义和性质，直接填表：点评：本题考查各类函数的定义和性质，是基础题，考查基础知识的记忆．　2．（7分）填表：考点：椭圆的定义；直线的一般式方程．专题：压轴题；图表型．分析：将方程4x2+y2=4转化为标准方程可知，该曲线为焦点在y轴的椭圆，而x﹣3=0则表示垂直于x轴的直线，作出其图象即可．解答：解：如图点评：本题考

4、查了直线和椭圆的方程，注意要将椭圆方程化为标准形式，并判断其焦点所处的位置．　二、解答题（共7小题，满分85分）3．（10分）求（﹣1+i）20展开式中第15项的数值；考点：二项式定理．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出第15项，利用虚数单位的平方为﹣1及组合数公式化简此项．解答：解：第15项T15=C2014（﹣1）6（i）14=﹣C206=﹣38760．点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．　4．（10分）已知，求x2﹣y2的值考点：有理数指数幂的化简求值．专题：计算题．分析：分别求出（x﹣

5、y）2和（x﹣y）2的值，然后利用完全平方公式能够导出x2﹣y2的值．解答：解：，即，得，∴，，∴．点评：本题考查有理数指数幂的化简求值，解题时要注意完全平方公式的合理运用．　5．（10分）以墙为一边，用篱笆围成长方形的场地，并用平行于一边的篱笆隔开（如图），已知篱笆的总长为定值L，这块场地的长和宽各为多少时场地的面积最大？最大面积是多少？考点：函数的最值及其几何意义．专题：应用题．分析：由题意设长方形场地的宽为x，则长为L﹣3x，表示出面积y，然后对其进行配方求出函数的最值即场地的面积最大值，从而求解．解答：解：设长方形场地的宽为x，

6、则长为L﹣3x，它的面积y=x（L﹣3x）=﹣3x2+Lx=．当宽时，这块长方形场地的面积最大，这时的长为，最大面积为．点评：此题是一道实际应用题，考查函数的最值问题，解决此类问题要运用配方法，这也是高考常考的方法．　6．（12分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，（1）用平面A1BC1截去一角后，求剩余部分的体积；（2）求A1B和B1C所成的角．考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；转化思想．分析：（1）先求出截下部分体积，剩余部分体积=正方体的体积﹣截下部分体积，从而得出结果．（2）连接D1

7、C和D1B1，将A1B平移到D1C，再利用中位线进行平移，使两条异面直线移到同一点，得到A1B与B1C所成的角，再在等边三角形△D1CB1求之即可．解答：解：（1）∵BB1⊥平面A1B1C1D1，∴△A1B1C1是棱锥B﹣A1B1C1的底，BB1是棱锥的高，△A1B1C1的面积=，截下部分体积=的面积=，正方体体积=a3，剩余部分体积=a3﹣．（2）连接D1C和D1B1，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥D1C，∴∠B1CD1即A1B与B1C所成的角，∵正方体各面上对角线的长度相等，即D1B1=B1C=D1C，∴△D1CB1是

8、等边三角形∴∠D1CB1=60°，∴A1B与B1C成600的角．点评：本题主要考查了异面直线及其所成的角，平移法是研究异面直线所成的角的最常用的方法，属于基础题．　7．（12分）已知定点A，B且AB=2a，